Annales gratuites Bac ES : Permis de conduire

Une enquête a montré que :

On interroge au hasard un candidat qui vient de passer l'épreuve théorique (on rappelle que les résultats sont connus dès la fin de l'épreuve).

On note :
T l'événement "le candidat a travaillé très sérieusement",
R l'événement "le candidat a réussi le code".

1. Traduire les données à l'aide d'un arbre pondéré.

2. a. Calculer la probabilité de l'événement "le candidat a travaillé très sérieusement et il a obtenu le code".

    b. Montrer que la probabilité p(R) qu'un candidat réussisse à l'épreuve théorique est égale à 0,675.

3. Le candidat interrogé vient d'échouer. Quelle est la probabilité qu'il ait travaillé très sérieusement ?

4. A la sortie de l'épreuve, on interroge au hasard et de façon indépendante 3 candidats (on suppose que ce choix peut être assimilé à un tirage successif avec remise).
Calculer la probabilité p₃ d'interroger au moins une personne ayant échoué à l'épreuve.

5. On interroge désormais au hasard et de façon indépendante n candidats.
Quelle est la probabilité p_n d'interroger au moins une personne ayant échoué à l'épreuve ?

Réussite au code de la route.

1. Arbre pondéré :

2.a. "Le candidat a travaillé sérieusement et il a obtenu le code" est l'événement : .

b. D'après la formule des probabilités totales, comme T et forment une partition de l'univers, on a :

p(R) = 0,6 + 0,3 x 0,25
p(R) = 0,6 + 0,075

3. On cherche la probabilité de T sachant réalisé.
On a

Or

d'où

4. On va s'aider d'un arbre.

Pour calculer p₃ il est plus facile de passer par l'événement contraire.
Le contraire "d'interroger au moins une personne ayant échoué"
est "interroger trois personnes ayant réussi".
la probabilité de cet événement est (0,675)³
donc

5. Par le même raisonnement que précédemment
on a

Exercice classique de probabilités conditionnelles suivies d'un schéma de Bernoulli.