Le sujet 2009 - Bac S - Mathématiques - Exercice |
Avis du professeur :
Le sujet porte sur l'étude d'une application du plan dans lui-même définie de manière complexe. Le sujet est classique. Il nécessite de maîtriser des connaissances de base. |
(5 points)
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Dans le plan
complexe muni d'un repère orthonormal direct,
on associe à tout point M d'affixe z non nulle,
le point M' milieu du segment [MM1], où
M1 est le point d'affixe.
Le
point M' est appelé l'image du point M.
1. a. Montrer que les distances OM et OM1 vérifient la relation OM × OM1 = 1 et que les angles vérifient l'égalité des mesures suivantes à près.
b. Sur la
figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le
point A appartient au cercle de centre O et de rayon
2.
Construire le point A' image du point A. (On
laissera apparents les traits de construction).
2. a. Justifier que pour tout nombre complexe z non nul, le point M' a pour affixe .
b. Soient B
et C les points d'affixes respectives 2i et -2i. Calculer les
affixes des points B' et C' images respectives des
points B et C.
c. Placer les points B,
C, B' et C' sur la figure donnée en
annexe 2 (à rendre avec la copie).
3. Déterminer l'ensemble des points M tels que .
4.
Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète,
ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans
l'évaluation.
Montrer que si le point M
appartient au cercle O et de rayon 1 alors son image M'
appartient au segment
où K et L sont les points d'affixes respectives
-1 et 1.
Annexe 2
I - L'ANALYSE DU SUJET
Exercice de complexe utilisant les modules et les arguments.
II - LES NOTIONS DU PROGRAMME
● Construction
d'un point.
● Point invariant.
● Ensemble de
points.
III - LES DIFFICULTES DU SUJET
● Pas
de lien direct entre les différentes parties.
● La
question
4 demande
une implication et non une équivalence comme généralement
pour déterminer un ensemble de points.
IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE
● Pour tracer
un point, il faut déterminer des ensembles (un cercle et une
demi-droite) et prendre l'intersection.
●
Traduire M sur le cercle de centre O et de rayon 1.
V - LES RESULTATS
1.
a. OM × OM1 = 1
b. Construction A'.
2.
a.
b.
c. Voir figure.
3. Les points vérifiant M' = M sont K et L points d'affines 1 et —1.
4. Si M appartient au cercle de centre O et de rayon 1, alors M' appartient au segment [KL].
VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES
1.
a. OM = |z|
b. OA × OA' = 1 or OA = 2
A' est sur le cercle de centre O et de rayon .
A' est sur la demi droite issue de O et formant l'angle
A' est l'intersection du cercle et de la demie-droite.
2.
a. M' milieu de [M M1]
b.
3. L'ensemble des points M tels que M' = M est équivalent à z' = z
Z² = 1
d'où z = 1 ou z = —1
Il y a donc deux points qui vérifient M' = M. Ce sont les points d'affixes 1 et —1.
4. Si M est
sur le cercle de centre O et de rayon 1,
alors OM = 1
d'où
|z| = 1
d'où il existe
Par conséquent
d'après la formule d'Euler donc z' est réel et appartient à [—1,1] donc M' appartient au segment [KL].
ANNEXE 2