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Annales gratuites Bac S : Plan complexe

Le sujet  2009 - Bac S - Mathématiques - Exercice Imprimer le sujet
Avis du professeur :

Le sujet porte sur l'étude d'une application du plan dans lui-même définie de manière complexe.
Le sujet est classique. Il nécessite de maîtriser des connaissances de base.
LE SUJET


(5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct, on associe à tout point M d'affixe z non nulle, le point M' milieu du segment [MM1], où M1 est le point d'affixe.
Le point M' est appelé l'image du point M.

1. a. Montrer que les distances OM et OM1 vérifient la relation OM × OM1 = 1 et que les angles vérifient l'égalité des mesures suivantes à près.

b. Sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point A appartient au cercle de centre O et de rayon 2.
Construire le point A' image du point A. (On laissera apparents les traits de construction).

2. a. Justifier que pour tout nombre complexe z non nul, le point M' a pour affixe .

b. Soient B et C les points d'affixes respectives 2i et -2i. Calculer les affixes des points B' et C' images respectives des points B et C.
c. Placer les points B, C, B' et C' sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie).

3. Déterminer l'ensemble des points M tels que .

4. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Montrer que si le point M appartient au cercle O et de rayon 1 alors son image M' appartient au segment K et L sont les points d'affixes respectives -1 et 1.

Annexe 2




LE CORRIGÉ


I - L'ANALYSE DU SUJET

Exercice de complexe utilisant les modules et les arguments.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

Construction d'un point.
● Point invariant.
● Ensemble de points.

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

Pas de lien direct entre les différentes parties.
● La
question 4 demande une implication et non une équivalence comme généralement pour déterminer un ensemble de points.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Pour tracer un point, il faut déterminer des ensembles (un cercle et une demi-droite) et prendre l'intersection.
● Traduire M sur le cercle de centre O et de rayon 1.

V - LES RESULTATS

1.

a. OM × OM1 = 1

b. Construction A'.

2.

a.    

b.    

c. Voir figure.

3. Les points vérifiant M' = M sont K et L points d'affines 1 et —1.

4. Si M appartient au cercle de centre O et de rayon 1, alors M' appartient au segment [KL].

VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1.

a. OM = |z|    

b. OA × OA' = 1 or OA = 2

A' est sur le cercle de centre O et de rayon .

A' est sur la demi droite issue de O et formant l'angle

A' est l'intersection du cercle et de la demie-droite.

2.

a. M' milieu de [M M1]

b.     

3. L'ensemble des points M tels que M' = M est équivalent à z' = z

Z² = 1

d'où z = 1 ou z = —1

Il y a donc deux points qui vérifient M' = M. Ce sont les points d'affixes 1 et —1.

4. Si M est sur le cercle de centre O et de rayon 1,
alors OM = 1
d'où |z| = 1
d'où il existe

Par conséquent

d'après la formule d'Euler donc z' est réel et appartient à [—1,1] donc M' appartient au segment [KL].

ANNEXE 2

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