Annales gratuites Bac STI Génie Electronique : Plan complexe

(5 points)
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct .
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument

1. Soit A le point d'affixe .
     a. Déterminer le module et un argument du nombre complexe z_A.
     b. Écrire le nombre complexe z_A sous la forme où r est un nombre réel strictement          positif et un nombre réel compris entre .
     c. Placer le point A dans le repère en prenant comme unité graphique 2 cm.

2. Soit B l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle On appelle z_B l'affixe du point B.
     a. Déterminer l'écriture du nombre complexe z_B sous la forme (où r est un nombre          réel strictement positif et un nombre réel compris entre ).
     b. Écrire le nombre complexe z_B sous forme algébrique.
     c. Placer le point B dans le repère .

3. Montrer que le triangle AOB est équilatéral.

     a. Par quelle transformation géométrique le point C est-il l'image du point A ? Préciser les éléments caractéristiques de cette transformation.
     b. Placer le point C dans le repère .
     c. Écrire le nombre complexe z_C sous forme trigonométrique.
     

         En déduire l'écriture du nombre complexe z_C sous forme algébrique.
     e. Déduire des résultats précédents les valeurs exactes de .

I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET

● Exercice sur les complexes ; calculs et applications géométriques.
● Calculs simples.
● Connaître les formules reliant formes algébrique et trigonométrique.
● Lignes trigonométriques usuelles.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Nombres complexes.
● Application géométrique des complexes.

III - LES RESULTATS

1. a. |z_A| = 2  ;  

b.    

c. Placer A :

2. a.    

b.    

c. Placer B :

3. OAB équilatéral.

4.a. La rotation de centre O et d'angle

b. Placer C :    

c.

e.   

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1.

a. Soit θ un argument de z_A;

c. Dessin de A.

2. a.

c. Dessin de B.

3. D'après (2,a) : B est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle

On en déduit que OAB est équilatéral.

4.

a. C est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle

b. Placement de C.

c.

e. D'après les résultats précédents (2,c) et (2,d) :