Annales gratuites Bac STG Comm. gestion RH : Prêt pour investisseur

Afin d'acquérir et d'aménager une boutique du centre ville, un investisseur décide de contracter un emprunt d'un montant de 100 000 euros. Dans le but d'obtenir les meilleures conditions pour ce prêt, il a contacté deux banques A et B.

1. La banque A lui propose de rembourser ce prêt sur 7 ans, en 7 annuités, chacune des annuités étant un des termes consécutifs d'une suite arithmétique de premier terme u₀ = 15 000 euros (montant du premier remboursement) et de raison a = 1 800 euros.

a. Calculer le montant de chacun des trois versements suivants, notés u₁, u₂ et u₃.
b. Quel est le montant du dernier versement, noté u₆ ?
c. Quelle serait la somme totale finalement remboursée si l'investisseur acceptait la proposition de la banque A ?

2. La banque B lui propose également de rembourser ce prêt sur 7 ans en 7 versements mais à des conditions différentes de celles de la banque A. Le premier remboursement annuel, noté v₀, serait d'un montant de 20 000 euros ; les remboursements suivants notés v₁, v₂, v₃, v₄, v₅, v₆, seraient chacun en augmentation de 2% par rapport au remboursement précédent.

a. Calculer v₁ et v₂ .
b. Préciser par quel calcul on passe de v₀ à v₁, de v₁ à v₂ ?
c. Montrer que v₀, v₁, v₂, v₃, v₄, v₅ et v₆ sont les termes consécutifs d'une suite géométrique dont vous donnerez la raison b.
d. Quelle serait la somme totale finalement remboursée si l'investisseur acceptait la proposition de la banque B ? (donner la valeur arrondie à l'euro le plus proche).

3. Quelle banque offre à notre emprunteur la solution la plus avantageuse ?

Utiliser des suites pour comparer deux formules de prêts.

1)

a) u₀ = 15 000 €
     u₁ = 16 800 €
     u₂ = 18 600 €
     u₃ = 20 400 €

b) u₆ = u₀ + 6´ 1 800 = 15 000 + 10 800 = 25 800 €

c) Somme totale remboursée :
u₀ + u₁ + u₂ + ... + u₆ = S

On sait que la suite (u_n)_{nÎ N} est arithmétique de raison a = 1 800
donc S = 7 ´  (15 000 + 25 800)/2
S = 142 800 €

2)
a) v₀ = 20 000 €
   v₁ = 1,02 ´  20 000 = 20 400
   v₂ = 1,02 ´  20 400 = 20 808

b) v₁ = v₀ + (2/100)v₀ = 1,02v₀
   v₂ = v₁ + (2/100)v₁ = 1,02v₁

c) On a v_n+1 = v_n + (2/100)v_n = 1,02v_n
La suite (v_n) nÎ {0;...;6} est une suite géométrique de premier terme v₀ = 20 000 et de raison 1,02.

d) La somme totale versée serait S' = v₀ + v₁ + ... + v₆ 

S' = 148 685 €

3) La banque A offre donc la solution la plus avantageuse.

Bien connaître les formules donnant les sommes des termes des suites arithmétiques et géométriques.