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Annales gratuites Bac STI Génie Electronique : Probabilités

Le sujet  2009 - Bac STI Génie Electronique - Mathématiques - Exercice Imprimer le sujet
Avis du professeur :

Le sujet permet par un calcul de probabilités de comparer deux manières de répondre à un QCM.
Le sujet ne comporte pas de difficultés majeures mais nécessite néanmoins de bonnes connaissances relatives aux variables aléatoires.
LE SUJET


(5 points)
On propose à un candidat au baccalauréat un exercice qui comporte trois questions auxquelles il doit répondre par vrai ou faux.
Une bonne réponse rapporte 2 points, une mauvaise réponse enlève 1 point, l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.
Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.
On appelle
    A l'événement : "le candidat n'a pas répondu à la question" ;
    B l'événement : "le candidat a donné la bonne réponse à la question" ;
    C l'événement : "le candidat a donné la mauvaise réponse à la question".

Si, par exemple, le candidat a donné les bonnes réponses aux questions 1 et 2, et la mauvaise réponse à la question 3, le résultat obtenu se note (B, B, C).

Un candidat qui ne sait répondre à aucune question hésite entre deux stratégies :
    soit il répond au hasard aux trois questions ;
    soit il décide de ne pas répondre à une question, par exemple la première, et répond au hasard aux deux autres questions.

I. Première stratégie : le candidat choisit de ne pas laisser de questions sans réponse.
Il répond donc au hasard et de façon équiprobable aux trois questions.

   1. Combien de triplets différents peut-on obtenir ? (On pourra utiliser un arbre.)
   2. Calculer la probabilité que le candidat n'ait fait aucune faute.
   3. Montrer que la probabilité que le candidat ait fait une faute et une seule, est égale à 0,375.
   4. On note X la variable aléatoire qui à chaque triplet associe la note obtenue à l'exercice.
       a. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X.
       b. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
       c. Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.

II. Deuxième stratégie : le candidat choisit de ne pas répondre à la première question, et répond au hasard et de façon équiprobable aux deux autres questions.

   1. Combien de triplets différents peut-on obtenir ?
   2. On note Y la variable aléatoire qui à chaque triplet associe la note obtenue à l'exercice.
      a. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire Y.
      b. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire Y.
      c. Calculer l'espérance mathématique E(Y) de la variable aléatoire Y.

III. Comparaison des stratégies : parmi les deux stratégies, quelle est la plus favorable au candidat ?


LE CORRIGÉ


I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET

On étudie deux stratégies différentes pour répondre à un QCM. Vaut-il mieux répondre au hasard ou ne pas répondre du tout ?
Il faut savoir interpréter l'espérance d'une variable aléatoire.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

Probabilités simples
● Lois de probabilité
● Espérance mathématique

III - LES RESULTATS

I. 1. 8

   2.

   3. 0,375

   4. a.

       b.

k

0

3

6

P({X = k})

0,5

0,375

0,125


       c. E(X) = 1,87

II. 1. 4

   2. a.

       b.

k

0

1

4

P({Y = k})

1/4

1/2

1/4


       c. E(Y) = 1,5

III. La deuxième stratégie est plus favorable pour le candidat.

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

I. Première stratégie
   1. Faisons l'arbre des possibles.


On détermine ainsi les triplets :
(B, B, B) (B, B, C) (B, C, B) (B, C, C) (C, B, B) (C, B, C) (C, C, B) (C, C, C)
Il y a donc huit triplets différents.

   2. Ne faire aucune faute correspond au seul triplet (B, B, B).
La probabilité que le candidat ne fasse aucune faute est donc égale à .

   3. Les triplets correspondants à une faute et une seule sont : (B, B, C) (B, C, B) (C, B, B)
La probabilité que le candidat ait fait une faute et une seule est donc égale à .

   4. a. Soit X la variable aléatoire qui à chaque triplet associe la note obtenue :
à (B, B, B) on associe la note 6
à (B, B, C) on associe la note 3
à (B, C, B) on associe la note 3
à (B, C, C) on associe la note 0
à (C, B, B) on associe la note 3
à (C, B, C) on associe la note 0
à (C, C, B) on associe la note 0
à (C, C, C) on associe la note 0
d'où

       b.

D'où la loi de probabilité de la variable X :

X = k

0

3

6

P({X = k})

0,5

0,375

0,125


       c.

II. Deuxième stratégie
   1. Les triplets possibles sont :
(A, B, B) (A, C, C) (A, B, C) (A, C, B)
On peut obtenir 4 triplets différents.

   2. a. Soit Y la variable aléatoire qui à chaque triplet associe la note obtenue :
à (A, B, B) on associe la note 4
à (A, C, C) on associe la note 0
à (A, B, C) on associe la note 1
à (A, C, B) on associe la note 1

       b.

D'où la loi de probabilité de Y :

Y = k

0

1

4

P({Y = k})

1/4

1/2

1/4


       c. E(Y) = 1,5

III. On a E(X) > E(Y) donc la première stratégie est plus favorable au candidat.


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