Annales gratuites Bac STI Génie Electronique : Probabilités

Un jeu de hasard consiste à introduire une bille dans le tube d'une machine. Cette machine possède trois portes P₁, P₂ et P₃ qui ferment ou ouvrent les accès aux quatre sorties possibles s₁, s₂, s₃ et s₄.. Un système électronique positionne aléatoirement ces trois portes puis libère la bille.

NB : sur le schéma les portes P₁ et P₃ sont fermées, la porte P₂ est ouverte, la bille sortira par s₂.

1.Enumérer dans un tableau comme ci-dessous, en s'aidant éventuellement d'un arbre de choix, toutes les positions simultanées possibles des trois portes et indiquer la sortie imposée à la bille pour chacune de ces configurations.

( Par convention on notera F une porte fermée et O une porte ouverte. )

2. On suppose que les huit évènements élémentaires, trouvés à la question 1, sont équiprobables.

a ) Soit A l'événement ( F ; O ; F). Quelle est la probabilité p(A) de l'événement A ?
b ) Soit S₁ l'événement " la bille sort par s₁ ", S₂ l'événement " la bille sort par s₂ ",
     S₃ l'événement " la bille sort par s₃ ", S₄ l'événement " la bille sort par s₄ ".
     Calculer les probabilités p(S₁), p(S₂), p(S₃) et p(S₄) de chacun de ces évènements.

3. Pour jouer, on doit miser 7 francs.

Si la bille sort par s1, on ne reçoit rien. Si la bille sort par s₂, on reçoit 5 francs.
Si la bille sort par s₃, on reçoit 10 francs. Si la bille sort par s₄, on reçoit 20 francs.
On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque sortie possible, associe le gain ou la perte en francs du joueur ( en tenant compte de la mise des 7 francs ; par exemple : à la sortie s₄, X associe 13).
a ) Quelles sont les valeurs prises par X ?
b ) Présenter dans un tableau de loi de probabilité de X.
c ) Calculer l'espérance mathématique E(X) de X.

4. On veut modifier la mise afin que le jeu soit équitable, c'est-à-dire que E(X) soit égal à zéro. Déterminer cette nouvelle mise en justifiant la réponse.

Utilisation des probabilités dans un système électronique.

1)

2) a)

    b)

3) a)
Les valeurs prises par X sont -7, -2, 3 et 13.

    b)
Loi de probabilité de X :

4 Soit x la mise en Francs.
Dans ce cas,

Donc, la nouvelle mise doit être de 5F.

Comme le préconisait le sujet, un arbre était utile pour déterminer les positions simultanées possibles.