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Annales gratuites Bac ES : Production de bicyclettes

Le sujet  2009 - Bac ES - Mathématiques - Exercice Imprimer le sujet
Avis du professeur :

On étudie les variations d'une fonction exponentielle qui est utilisée comme modèle économique du bénéfice réalisé par une entreprise.

La première partie nécessite de bonnes connaissances en analyse : fonction exponentielle. La seconde nécessite de bien savoir interpréter les résultats acquis dans un cadre économique.
LE SUJET


(6 points)
(Commun à tous les candidats)

Partie A - Étude d'une fonction

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0,5 ; 8] par f (x) = 20(x — 1) e—0,5x.
On note f ' la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle [0,5 ; 8].

1.
a. Démontrer que, pour tout nombre réel x de l'intervalle [0,5 ; 8],
'(x) = 10(—+ 3) e—0,5x.

b. Étudier le signe de la fonction f ' sur l'intervalle [0,5 ; 8] et en déduire le tableau de variation de la fonction f.

2. Construire la courbe représentative (C) de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthogonal.

On prendra pour unités graphiques 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

3. Justifier que la fonction F définie sur l'intervalle [0,5 ; 8] par

est une primitive de la fonction f sur l'intervalle [0,5 ; 8].

4. Calculer la valeur exacte de l'intégrale I définie par .

Partie B - Application économique

Une entreprise produit sur commande des bicyclettes pour des municipalités.
La production mensuelle peut varier de 50 à 800 bicyclettes.
Le bénéfice mensuel réalisé par cette production peut être modélisé par la fonction f de la Partie A de la façon suivante : si, un mois donné, on produit x centaines de bicyclettes, alors, f(x) modélise le bénéfice, exprimé en milliers d'euros, réalisé par l'entreprise ce même mois.
Dans la suite de l'exercice, on utilise ce modèle.

1.
a.
Vérifier que si l'entreprise produit 220 bicyclettes un mois donné, alors elle réalise ce mois là un bénéfice de 7 989 euros.

b. Déterminer le bénéfice réalisé par une production de 408 bicyclettes un mois donné.

2. Pour cette question, toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte. Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats de la Partie A et le modèle précédent.
Justifier chaque réponse.

a. Combien, pour un mois donné, l'entreprise doit-elle produire au minimum de bicyclettes pour ne pas travailler à perte ?

b. Combien, pour un mois donné, l'entreprise doit-elle produire de bicyclettes pour réaliser un bénéfice maximum ? Préciser alors ce bénéfice à l'euro près.

c. Combien, pour un mois donné, l'entreprise doit-elle produire de bicyclettes pour réaliser un bénéfice supérieur à 8 000 euros ?


LE CORRIGÉ


I - L'ANALYSE DU SUJET

Application économique de l'étude d'une fonction exponentielle.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Fonction exponentielle
● Dérivée
● Primitive.

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

Bien utiliser le modèle mathématique pour répondre aux questions d'ordre économique.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Propriétés de la fonction exponentielle
● Calcul de dérivée
● Interprétation graphique : minimum, maximum
● Primitive et intégrale

V - LES RESULTATS

A.
1.
    a.
 f '(x) = 10( —x+3)e —0,5x
    b.

2. Voir courbe.
3. F '(x) = f(x)
4. = —240 e—2,5 + 100 e—0,75

B.
1.
    a.
7 989 euros
    b. 8 009 euros
2.
    a.
Plus de 100
    b.
300
    c.
Entre 230 et 430

VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Partie A

f(x) = 20(x—1) e—0.5x avec 0.5 ≤ ≤ 8

1.
a.
f est de la forme uv donc f ' est de la forme u'v uv '
d'où f '(x) = 20 e—0,5— 20 (x—1) × 0,5 e—0,5x

et donc
f '(x) = 20 e—0,5[1—0,5+ 0,5]
       = 20 e—0.5x[—0,5x + 1,5]
f '(x) = 10 e—0.5x [—x + 3]

b. On a e—0,5> 0 pour tout x
donc f '(x) est du signe de (—+ 3)
soit —+ 3 ≥ 0 si et seulement si ≤ 3
D'où le signe de f '(x) :

Et donc le tableau de variation de f :

f(0,5) = —10 e—0,25 = —7,78 à 10—2 près
f(3) = 40 e—1,5 = 8,92 à 10—2 près
f(8) = 140 e—4 = 2,56 à 10—2 près

2.

3. On a

F est une fonction dérivable sur l'intervalle [0,5 ; 8] et

F est de la forme et donc F ' est de la forme

D'où

               = —40 e—0,5x(—0,5+ 0,5)
               = —20 e—0,5x(—+ 1)
               = 20 (x—1) e—0,5f(x)
On peut donc en déduire que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle [0,5 ; 8].

4.

I = —240 e—2,5 + 100 e—0,75



Partie B.

1.
a.
Si l'entreprise produit 220 bicyclettes, on a = 2,2.
Le bénéfice est alors égal à (2,2) en milliers d'euros.
Or (2,2) = 20(1,2) e—1,1
             = 24 e—1,1
             = 7,989 à 10—3 près.
Donc pour une production de 220 bicyclettes le bénéfice de l'entreprise est de 7 989 euros.

b. Si l'entreprise produit 408 bicyclettes on a = 4,08
Donc le bénéfice en milliers d'euros sera égal à
f(4,08) = 20 (3,08) e—2,04
          = 61,6 e—2,04
          = 8,009 à 10—3 près.
Le bénéfice de l'entreprise est de 8 009 euros.

2.
a. D'après l'étude de la partie A, on sait que f(x) ≥ 0 si ≥ 1, donc pour ne pas travailler à perte, c'est-à-dire avoir un bénéfice positif, l'entreprise doit produire au minimum 100 bicyclettes (ce qui correspond à = 1).

b. La fonction f présente un maximum sur l'intervalle [0,5 ; 8] lorsque = 3.
Donc pour réaliser un bénéfice maximum l'entreprise doit produire 300 bicyclettes, un mois donné.
Dans ce cas le bénéfice en milliers d'euros est égal à f(3).
Avec f(3) = 40 e—1,5 = 8,925
Le bénéfice de l'entreprise sera alors de 8 925 euros à 1 euro près.

c. Pour réaliser un bénéfice supérieur à 8 000 euros il est nécessaire que l'on ait : f(x) ≥ 8

Soit 20 (x—1) e—0,5x ≥ 8
Cette inéquation peut être résolue graphiquement.
Sur le graphique on lit
f(x) ≥ 8 si et seulement si 2,3 ≤ x ≤ 4,3
Pour réaliser un bénéfice supérieur à 8 000 euros, pour un mois donné, l'entreprise doit produire entre 230 et 430 bicyclettes environ.


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