Annales gratuites Bac S : Suites numériques

(4 points)
Commun à tous les candidats.

Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.

1. On considère la suite (u_n) définie par :
u₀ = 1 et, pour tout nombre entier naturel n,

On pose, pour tout nombre entier naturel n, v_n = u_n  — 6

a. Pour tout nombre entier naturel n, calculer v_n+1 en fonction de v_n
Quelle est la nature de la suite (v_n) ?

b. Démontrer que pour tout nombre entier naturel n,

c. Etudier la convergence de la suite (u_n)

2. On considère la suite (w_n) dont les termes vérifient, pour tout nombre entier n ≥ 1 :

nw_n = (n + 1)w_n—1 + 1 et w₀ = 1.

Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite.

w0	w1	w2	w3	w4	W5	w6	w7	w8	w9
1	3	5	7	9	11	13	15	17	19

a. Détailler le calcul permettant d'obtenir w₁₀.

b. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Donner la nature de la suite (w_n). Calculer w_2009.

I - L'ANALYSE DU SUJET

On étudie une suite arithmético-géométrique.
On démontre qu'une suite est arithmétique.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Suite arithmétique
● Suite géométrique
● Démonstration par récurrence

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

Il ne faut pas se contenter de donner la nature de la suite (w_n) il faut aussi le démontrer.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Etablir une conjecture et la démontrer par récurrence.

V - LES RESULTATS

1.a.

(v_n) est une suite géométrique de raison et de 1^er terme v₀ = —5.

   b.

   c.

2.a. w₁₀ = 21
   b. Démonstration par récurrence de la proposition :

d'où w₂₀₀₉ = 4019

VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1. Soit la suite

Pour tout n, . et pour tout n,

   a. Pour tout n appartenant à on a :

Et v₀ = u₀ — 6 = 1 — 6 = —5.
On en déduit que la suite est une suite géométrique de raison et de premier terme v₀ = —5.

   b. On en déduit également que : pour tout

soit

or v_n = u_n — 6    pour tout
donc u_n = v_n + 6 et donc pour tout

   .

Donc —1 < q < 1
et donc la suite (v_n) converge vers zéro.

On a

On sait que pour tout

On en déduit que la suite (u_n) est convergente et

2. On a .

On a:

   a. On a : 10 w₁₀ = 11 w₉ + 1 d'où

w₁₀ = 21

   b. D'après le tableau et le calcul de w₁₀ on peut conjecturer que la suite est une suite arithmétique de premier terme w₀ et de raison r = 2 et donc que :

Ou encore :

Démontrons cette proposition par récurrence :
w₁ = 3 et w₀ = 1, w₀ = 2 × 0 +1
w₁ = 2 × 1 + 1 = 3

La proposition est vraie aux rangs n = 0 et n = 1.

Supposons que la propriété est vraie au rang n :
on a w_n = 2n + 1
et démontrons qu'elle est alors vraie au rang (n + 1).

On a : (n + 1)w_n+1 = (n + 2)w_n + 1

D'où :
(n + 1)w_n+1 = (n + 2)(2n + 1) + 1
(n + 1)w_n+1 = 2n² + 4n + n + 2 +1
(n + 1)w_n+1 = 2n² + 5n + 3
(n + 1)w_n+1 = (n + 1)(2n + 3)
w_n+1 = 2n + 3 = 2(n + 1) + 1

Donc la propriété : w_n = 2n + 1 est vraie pour tout .

Et donc w₂₀₀₉ = 2 × 2009 + 1
w₂₀₀₉ = 4019