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Annales gratuites Bac S : Suites numériques

Le sujet  2009 - Bac S - Mathématiques - Exercice Imprimer le sujet
Avis du professeur :

Le sujet porte sur l'étude succincte de trois suites de natures différentes : arithmético-géométrique, géométrique, arithmétique.
Dans une large part le sujet est assez classique mais la dernière question nécessite de prendre des initiatives dans la manière de démontrer la nature de la suite.

LE SUJET


(4 points)
Commun à tous les candidats.

Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.

1. On considère la suite (un) définie par :
u0 = 1 et, pour tout nombre entier naturel n,

On pose, pour tout nombre entier naturel n, vn = un  — 6

a. Pour tout nombre entier naturel n, calculer vn+1 en fonction de vn
Quelle est la nature de la suite (vn) ?

b. Démontrer que pour tout nombre entier naturel n,

c. Etudier la convergence de la suite (un)

2. On considère la suite (wn) dont les termes vérifient, pour tout nombre entier ≥ 1 :

nwn = (n + 1)wn1 + 1 et w0 = 1.

Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite.

w0

w1

w2

w3

w4

W5

w6

w7

w8

w9

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19


a.
Détailler le calcul permettant d'obtenir w10.

b. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Donner la nature de la suite (wn). Calculer w2009.


LE CORRIGÉ


I - L'ANALYSE DU SUJET

On étudie une suite arithmético-géométrique.
On démontre qu'une suite est arithmétique.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Suite arithmétique
● Suite géométrique
● Démonstration par récurrence

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

Il ne faut pas se contenter de donner la nature de la suite (wn) il faut aussi le démontrer.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Etablir une conjecture et la démontrer par récurrence.

V - LES RESULTATS

1.a.

(vn) est une suite géométrique de raison et de 1er terme v0 = —5.

   b.

   c.

2.a. w10 = 21
   b. Démonstration par récurrence de la proposition :

d'où w2009 = 4019

VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1. Soit la suite

Pour tout n, . et pour tout n,

   a. Pour tout n appartenant à on a :

Et v0 = u0 — 6 = 1 — 6 = —5.
On en déduit que la suite est une suite géométrique de raison et de premier terme v0 = —5.

   b. On en déduit également que : pour tout

soit

or vn = un — 6    pour tout
donc un = vn + 6 et donc pour tout

   .

Donc —1 < q < 1
et donc la suite (vn) converge vers zéro.

On a

On sait que pour tout

On en déduit que la suite (un) est convergente et

2. On a .

On a:

w0

w1

w2

w3

w4

w5

w6

w7

w8

w9

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19



   a. On a : 10 w10 = 11 w9 + 1 d'où

w10 = 21

   b. D'après le tableau et le calcul de w10 on peut conjecturer que la suite est une suite arithmétique de premier terme w0 et de raison r = 2 et donc que :

Ou encore :

Démontrons cette proposition par récurrence :
w1 = 3 et w0 = 1, w0 = 2 × 0 +1
w1 = 2 × 1 + 1 = 3

La proposition est vraie aux rangs n = 0 et n = 1.

Supposons que la propriété est vraie au rang n :
on a wn = 2n + 1
et démontrons qu'elle est alors vraie au rang (n + 1).

On a : (n + 1)wn+1 = (n + 2)wn + 1

D'où :
(n + 1)wn+1 = (n + 2)(2n + 1) + 1
(n + 1)wn+1 = 2n2 + 4n + n + 2 +1
(n + 1)wn+1 = 2n2 + 5n + 3
(n + 1)wn+1 = (n + 1)(2n + 3)
wn+1 = 2n + 3 = 2(n + 1) + 1

Donc la propriété : wn = 2n + 1 est vraie pour tout .

Et donc w2009 = 2 × 2009 + 1
w2009 = 4019


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