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Annales gratuites Bac Général ES spé Maths : Téléphone mobile

Le sujet  2002 - Bac Général ES spé Maths - Mathématiques - Exercice Imprimer le sujet
LE SUJET

Julie possède depuis plusieurs mois un téléphone mobile pour lequel elle a souscrit un forfait mensuel de deux heures. Soucieuse de bien gérer ses dépenses, elle étudie l'évolution de ses consommations.

Elle a constaté que :

  • Si pendant le mois noté n elle a dépassé son forfait, la probabilité qu'elle le dépasse le mois suivant noté (n + 1) est .
  • Si pendant le mois noté n elle n'a pas dépassé son forfait, la probabilité qu'elle le dépasse le mois suivant est .
  • Pour n entier naturel strictement positif, on désigne par An l'événement "Julie a dépassé son forfait le mois n " et par Bn l'événement contraire.
    On pose pn = p(An) et qn = p(Bn) ; on a p1 = 1 / 2.

    Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

    1.a. Donner les probabilités de An+1 sachant que An est réalisé et de An+1 sachant que Bn est réalisé.
       b. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, les égalités suivantes sont vraies :
          et

         En déduire que l'égalité suivante est vraie :

    2. Pour tout entier naturel on pose : .

       Montrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme u1.

    3. Ecrire un puis pn en fonction de n. Déterminer la limite de (pn)

    LE CORRIGÉ

    I - QUEL INTERET POUR CE SUJET ?

    Probabilités, conditionnelles et suites géométriques

    II - LE DEVELOPPEMENT

    1)
       a)
    p(An+1 | An) = 1/5
    p(An+1 | Bn) = 2/5

       b)
    On sait que

                         donc p(An+1 Ç An) = p(An+1 | An) ´ p(An)

                         soit p(An+1 Ç An) = 1/5 pn

    On a aussi

    donc p(An+1 Ç Bn) = p(An+1 | Bn) ´ p(Bn)

    soit p(An+1 Ç Bn) = 2/5 qn

    On sait que An+1 = (An+1 Ç An) È (An+1 Ç Bn)

    d'où p(An+1) = p(An+1 Ç An) + p(An+1 Ç Bn) car les événements sont incompatibles.

    d'où p(An+1) = 1/5 pn + 2/5 qn

           p(An+1) = 1/5 pn + 2/5 (1 - pn)

           p(An+1) = 1/5 pn + 2/5 - 2/5 pn

           p(An+1) = 2/5 -1/5 pn

    Comme p(An+1) = pn+1

    alors pn+1 = 2/5 - 1/5 pn

    2) Pour n ³ 1, on pose un = pn - 1/3

    Pour montrer que (un) est une suite géométrique il suffit de montrer qu'il existe un réel q appelé raison tel que un+1 = q un. On a donc :
       un+1 = pn+1 - 1/3

       un+1 = (2/5 - 1/5 pn) - 1/3

       un+1 = - 1/5 pn + 1/15

       un+1 = - 1/5 (pn - 1/3)

       soit un+1 = - 1/5 un

    Donc (un) est une suite géométrique de raison -1/5 et de premier terme
       u1 = p1 - 1/3 = 1/2 - 1/3 soit u1 = 1/6

    3)
       un = u1 q n - 1

       un = 1/6 ´ (- 1/5)n - 1

    Comme pn = un + 1/3, on en déduit que

       pn = 1/6 ´ (- 1/5) n - 1 + 1/3

    Comme alors

    III - UN COMMENTAIRE MATHEMATIQUE

    Une bonne lecture du sujet et une maîtrise des probabilités conditionnelles, étaient nécessaires pour bien répondre aux questions.

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