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Annales gratuites Bac S : Tetraèdre

Le sujet  2003 - Bac S - Mathématiques - Exercice Imprimer le sujet
LE SUJET

Soient a un réel strictement positif et OABC un tétraèdre tel que :
· OAB, OAC et OBC sont des triangles rectangles en O.
· OA = OB = OC = a.

On appelle I le pied de la hauteur issue de C du triangle ABC, H le pied de la hauteur issue de O du triangle OIC, et D le point de l'espace défini par .

1. Quelle est la nature du triangle ABC ?

2. Démontrer que les droites (OH) et (AB) sont orthogonales, puis que H est l'orthocentre du triangle ABC.

3. Calcul de OH.
a. Calculer le volume V du tétraèdre OABC puis l'aire S du triangle ABC.
b. Exprimer OH en fonction de V et de S, en déduire que OH = .
4. Etude du tétraèdre ABCD.
L'espace est rapporté au repère orthonormal .
a. Démontrer que le point H a pour coordonnées : .
b. Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier (c'est-à-dire que toutes ses arêtes ont même longueur).

c. Soit le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD.
Démontrer que est un point de la droite (OH) puis calculer ses coordonnées.

LE CORRIGÉ

I - QUEL INTERET POUR CE SUJET ?

Exercice de géométrie dans l'espace.

II - LE DEVELOPPEMENT

1. Les triangles OAB, OAC et OBC sont rectangles isocèles en O avec OA = OB = OC = a.
D'après Pythagore, les hypoténuses valent .
Donc AC = AB = BC = .

Le triangle ABC est équilatéral.

2. O étant équidistant de A, B et C et H étant le pied de la hauteur issue de O du triangle OIC, (OH) est orthogonale au plan (ABC).
Donc (OH) est orthogonale à toute droite du plan (ABC).
Donc (OH) est orthogonale à (AB).

De même (OH) est orthogonale à (BC) et (OA) est orthogonale à (BC).
Donc (OAH) est orthogonal à (BC).
Donc (AH) est orthogonale à (BC).
Par conséquent, H est l'intersection des hauteurs issues de C et de A du triangle ABC.

H est donc l'orthocentre de ABC.

3. a.
Or et OC = a.
Donc .

D'après la formule de l'aire d'un triangle on a :
, or
Dans le triangle ACI rectangle en I, d'après le théorème de Pythagore :

D'où
D'où donc
Par conséquent :

b.
On a donc
On a donc
On a bien

4. a. ABC est isocèle et H est l'orthocentre de ABC donc H est le centre de gravité de ABC.
Par conséquent
Or dans le repère  :
A a pour coordonnées (a, 0, 0)
B a pour coordonnées (0, a, 0)
Donc I milieu de [AB] a pour coordonnées
Et C a pour coordonnées (0, 0, a)

a pour coordonnées
Donc a pour coordonnées
a pour coordonnées

Par identification des coordonnées on a :
             d'où

b. On a
Donc D a pour coordonnées
On a
Donc

De même on trouve BD = CD =

On a donc AB = BC = AC = AD = BD = CD =

Le tétraèdre ABCD est donc régulier.

c. Le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD est équidistant de A, B et C.
Or l'ensemble des points équidistants de A, B et C appartient à l'intersection des plans médiateurs de [AB] et de [AC] c'est-à-dire à la droite (OH) car O est équidistant de A, B et C puisque OA = OB = OC et H est équidistant de A, B et C car c'est l'orthocentre donc centre du cercle circonscrit à ABC.

Par conséquent appartient à (OH).

Comme les coordonnées de sont de la forme :
(w, w, w).

Comme de plus

on a



D'où

a pour coordonnées .

III - COMMENTAIRE MATHEMATIQUE

Exercice liant la géométrie pure dans l'espace et la géométrie analytique afin de trouver les coordonnées du centre de la sphère circonscrite à un tétraèdre.

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