Le sujet 2002 - Bac Général L spé Maths - Mathématiques - Exercice |
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Une entreprise souhaite fabriquer, pour de jeunes enfants, des toboggans dont le profil a l'allure de la courbe ci-contre.
Le plan est muni d'un repère orthonormal . On prendra 3 cm pour unité graphique.
L'objet de l'exercice est de modéliser ce profil à l'aide de la courbe représentative C d'une fonction définie sur l'intervalle [ 0 ; 3 ] vérifiant les conditions suivantes :
(1) La courbe C passe par les points A ( 0 ; 2 ) et B ( 3 ; 0 ).
(2) La courbe C admet en chacun des points A et B une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
Partie I
1)
a) Soit f la fonction définie sur l'intervalle R par .
Etudier les variations de la fonction f (on ne demande pas l'étude des limites).
b) Soit g la fonction définie sur l'intervalle R par .
Etudier les variations de la fonction g (on ne demande pas l'étude des limites).
2)
On note respectivement Cf et Cg les courbes représentatives des fonctions f et g.
a) Démontrer que Cf et Cg passent par le point K ( 1 ; 4/3 ) et ont la même tangente T en ce point.
b) Tracer sur un même graphique, la droite T, la partie de Cf correspondant aux points d'abscisses comprises entre 0 et 1, et la partie de Cg correspondant aux points d'abscisses comprises entre 1 et 3.
La courbe obtenue en réunissant les deux parties de courbes est une réponse au problème posé.
Partie II
Le bureau d'études a établi que l'on pouvait également modéliser le profil du toboggan à l'aide d'une partie de la courbe représentative Ch de la fonction h, définie sur R par :
1)
Démontrer que la fonction h vérifie les conditions (1) et (2).
2)
Déterminer les coordonnées du point de Ch d'abscisse 1 et le coefficient directeur de la tangente en ce point.
I - QUEL INTERET POUR CE SUJET ?
Modélisation d'un profil de toboggan à l'aide d'une courbe.
II - LE DEVELOPPEMENT
PARTIE I.
1)
a) f est définie su R par
On en déduit que la fonction f est strictement croissante sur R - et strictement décroissante sur R +.
b) g est définie sur R par ;
On en déduit que la fonction g est strictement décroissante sur l'intervalle et strictement croissante sur l'intervalle
.
2)
a) Cf passe par le point K (1 ; 4/3), car
Cg passe par le point K (1 ; 4/3), car
L'équation de la tangente à Cf au point K est :
L'équation de la tangente à Cg au point K est :
En effet, Cf et Cg on la même tangente T au point K.
2)
b)
PARTIE II.
La fonction h est définie sur R par :
Pour montrer que la fonction h vérifie les conditions (1) et (2) il suffit de montrer que h(0) = 2 et que h(3) = 0
En effet h(0) = 2 et
D'où h(3) = 0
H vérifie donc bien les deux conditions.
2)
Les coordonnés du point de Ch d'abscisse 1 sont : (1 ; 40/27)
le coefficient directeur de la tangente à Ch au point d'abscisse 1 est h ' (1) soit
III - UN COMMENTAIRE MATHEMATIQUE
Un exercice sans difficulté apparente.
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