Annales gratuites Bac 1ère L : Journal télévisé

(10 points)

Les deux parties de l'exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

PARTIE 1

En 2008, une chaîne de télévision, Média 3, souhaite concurrencer les journaux télévisés de 20 heures de deux autres chaînes : Télé 1 et Canal 2. La direction de Média 3 décide donc de programmer à 20 heures, à partir du 1^er septembre 2008, un feuilleton intitulé : "La vie rêvée".

Dans cet exercice, le terme "audience" désigne le nombre mensuel moyen de téléspectateurs par soir, exprimé en millions.

Les audiences des journaux télévisés de 20 heures de Télé 1 et Canal 2 sont stables :
6,5 millions de téléspectateurs pour Télé 1 et 4,9 millions de téléspectateurs pour Canal 2.

Au mois de septembre 2008, l'audience de "La vie rêvée" est de 3,4 millions de téléspectateurs, puis elle augmente chaque mois de 185 000 téléspectateurs soit de 0,185 million de téléspectateurs.

On note u_n l'audience de "La vie rêvée" n mois après septembre 2008 donc u₀=3,4.
    1. Justifier que u₁=3,585.
    2. Quelle est la nature de la suite (u_n) ? Exprimer u_n en fonction de n.
    3. Des termes de la suite (u_n) sont donnés dans le tableau 1 de l'annexe 1, extrait d'une feuille de calcul automatisée.
       a. On propose de placer dans la cellule C3 une formule permettant d'obtenir les valeurs de u_n par une recopie vers le bas. Parmi les propositions ci-dessous, écrire sur votre copie toutes celles qui conviennent (aucune justification n'est demandée) :

       b. Dans ces conditions, à partir de quel mois l'audience de "La vie rêvée" a-t-elle dépassé celle du journal télévisé de 20 heures de Canal 2 ? Justifier cette réponse.

PARTIE 2

Dès septembre 2009, l'audience du feuilleton ne progresse plus de la même façon.
On note v_n l'audience de "La vie rêvée" n mois après septembre 2009.
On donne, dans le tableau 2 de l'annexe 1, les valeurs de v₀ à v_5.

    1. On écrit, dans la cellule D3 du tableau 2 de l'annexe 1, la formule que l'on recopie vers le bas jusqu'en C7. Quelle est la formule inscrite en D6.
    2. Compléter, sur l'annexe 1, les cellules de D3 à D7 du tableau 2 par les valeurs numériques obtenues (on arrondira les résultats au centième).
    3. En déduire la nature de la suite (v_n) avec n variant de 0 à 5.
    4. Si l'audience de ce feuilleton continuait à progresser de cette manière, déterminer le mois à partir duquel elle dépasserait celle du journal télévisé de Télé 1.
    5. Calculer le pourcentage d'évolution de l'audience du feuilleton de septembre 2008 à février 2010 (arrondir le résultat à 0,1%).

Annexe 1

Tableau 1 : Audience de "La vie rêvée" de septembre 2008 à août 2009

Tableau 2 : Audience de "La vie rêvée" de septembre 2009 à février 2010

I - L'ANALYSE DU SUJET

Utilisation de suite arithmétique et géométrique pour mesurer l'audience d'un feuilleton télévisé.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Feuille de calcul automatisé
● Tableur
● Suites arithmétiques
● Suites géométriques
● Pourcentage d'augmentation

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

Distinguer l'adressage absolu et l'adressage relatif dans un tableur.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Reconnaître une suite arithmétique et une suite géométrique
● Utiliser un tableur

V - LES RESULTATS

Partie 1

1. u₁ =3,585
2. (u_n) est une suite arithmétique de 1er terme u₀ = 3,4 et de raison 0,185
u_n = 3,4 + 0,185 n
3.a.
= C2+0,185
= C2+$E$1
= C2+E$1
b. Juin 2009

Partie 2

1. C6/C5
2. Voir tableau 2
3. (v_n) est une suite géométrique de 1er terme v₀ = 5,62 et de raison 1,02
4. Mai 2009
5. 82,5%

VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Partie 1

1. u₀ = 3,4
u ₁= 3,4 + 0,185
soit u₁ = 3,585
2. (u_n) est une suite arithmétique de 1^er terme u₀ = 3,4 et de raison r = 0,185
On a donc : u_n = u₀+nr
Soit u_n = 3,4 + 0,185n
3.a.
= C2+0,185
= C2+$E$1
= C2+E$1
b. Pour déterminer à partir de quel mois l'audience de "La vie rêvée" dépassera celle du journal télévisé de 20 heures de Canal 2, il suffit de résoudre l'inéquation u_n > 4,9

Soit :
3,4+0,185n > 4,9
0,185n > 1,5

n >

n > 8,1    d'où     n = 9

Soit à partir du mois de juin 2009.

Partie 2

1. La formule inscrite en D6 est :

2. Voir tableau 2
3. (v_n) est une suite géométrique de 1^er terme v₀ = 5,62 et de raison q = 1,02
4. On a v_n = v₀qⁿ
Soit v_n = 5,62×1,02ⁿ
Pour déterminer à partir de quel mois l'audience de la "La vie rêvée" dépassera l'audience de celle du journal de Télé 1, il suffit de déterminer n pour que v_n > 6,5
Soit : 5,62 × 1,02n > 6,5
à l'aide de la calculatrice on obtient :

On en déduit que n = 8
Soit à partir de mai 2009.

On peut aussi résoudre l'inéquation :
5,62×1,02ⁿ > 6,5

car la fonction logarithme est strictement croissante ou

Soit car ln1,02 > 0

n > 7,35   d'où   n= 8.

5. Le pourcentage d'évolution de l'audience du feuilleton de septembre 2008 à février 2010 est :

Soit  82,5 % à 0,1 % près.

Tableau 2 : Audience de "La vie rêvée" de septembre 2009 à février 2010