Annales gratuites Bac 1ère L : Massif montagneux

Dans cet exercice, les parties 1 et 2 sont indépendantes.
Le dessin ci-dessous reprend une carte d'un massif montagneux dont l'échelle est précisée. Le relief est représenté par des lignes du niveau dont les altitudes sont exprimées en mètres.

Partie 1

Un randonneur part du point de départ D pour arriver au sommet S suivant le trajet indiqué sur le dessin.

1. A la lecture de cette carte, le chemin entre les points A et B semble plus pentu que le chemin entre les points B et C. Expliquer pourquoi.

2. Dans le repère donné en ANNEXE 2, le point D est de coordonnées (0 ; 1 000).
Représenter dans ce repère les points D, A, B, C et S du trajet indiqué sur le dessin ci-dessus. En reliant les points, tracer ensuite le profil du parcours du randonneur.

Partie 2

Sur ce parcours, la température diminue de 0,01 degré Celsius lorsque l'altitude du randonneur augmente de 1 mètre. Au point de départ D, la température est de 25 degré Celsius.
Pour tout entier naturel n, on note u_n la température (en degré Celsius) sur le parcours du randonneur à l'altitude 1 000 + n mètres.

1. Justifier que u₂ = 24,98. Quelle est la valeur de u₁₀ ?

2. Exprimer u_n+1 en fonction de u_n pour tout entier naturel n.

3. Quelle est la nature de la suite ( u_n ) ? Pour tout entier naturel n, exprimer u_n en fonction de n.

4. Quelle température fait-il sur le parcours à l'altitude 1 560 mètres ?

5. A partir de quelle altitude la température sera-t-elle inférieure ou égale à 20 degrés Celsius ? Justifier votre réponse.

I - L'ANALYSE DU SUJET

Le sujet porte sur la lecture de données graphiques et sur une situation modélisée par une suite numérique.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Lecture graphique
● Représentation graphique
● Suite arithmétique

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

Le cadre inhabituel des courbes de niveaux pouvait surprendre mais il suffisait de procéder avec méthode pour relever les informations de distances parcourues, altitudes, températures.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Savoir calculer le énième terme d'une suite arithmétique avec la formule

V - LES RESULTATS

Partie 1 :

1. La lecture graphique nous permet d'affirmer que :
le point A est situé à l'altitude 1200 m
le point B est situé à l'altitude 1300 m
le point C est situé à l'altitude 1400 m
Par ailleurs la distance linéaire qui sépare le point A et le point B est de 500 m et la distance linéaire qui sépare le point B et le point C est de 1 km 500 m.
Donc entre A et B pour monter de 100 m on parcourt 500 m et entre B et C pour monter de 100 m on parcourt 1 km 500 m.
Le chemin entre A et B est plus pentu que celui entre B et C.

2.

Partie 2 :

1. La température au point D est de 25°C.
D est situé à 1000 m soit 1000 + 0 mètres.
On a donc u₀ = 25
D'où  u₁ = 25 − 0,01 = 24,99
et u₂ = 24,99 − 0,01 = 24,98
et u₁₀ = 25 − 10 × 0,01 = 25 − 0,1

u₁₀ = 24,9

2. La température baisse de 0,01 degré lorsque l'altitude augmente de 1 mètre donc

u_n+1 = u_n − 0,01  pour tout entier n.

3. La suite  est une suite de la forme u_n+1 = u_n + r   n ∈ ℕ
avec r = − 0,01
donc la suite  est une suite arithmétique de raison r = − 0,01
et de premier terme u₀ = 25
On a donc u_n = u₀ + n × r   avec n ∈ ℕ
D'où u_n = 25 + n × (− 0,01 )

4. L'altitude de 1560 mètres correspond à 1000 + 560 mètres.
Donc la température à l'altitude 1560 m est égale à u₅₆₀
Or u₅₆₀ = 25 − 0,01 × 560
u₅₆₀ = 25 − 5,6

u₅₆₀ = 19,4 ° C

5. On doit résoudre
u_n < 20
soit 25 − 0,01 × n < 20
5 < 0,01 × n

n > 500
A partir de l'altitude 1501 mètres la température est strictement inférieur à 20°C.