Annales gratuites Bac S : Décharge d'un condensateur

Le montage ci-contre permet d'étudier l'évolution de la tension u_c aux bornes d'un condensateur de capacité C en série avec une résistance R.
Le commutateur (interrupteur à plusieurs positions) a deux positions possibles repérées par 1 et 2.
Une interface, reliée à un ordinateur, permet de saisir les valeurs instantanées de cette tension u_c.

Initialement, le commutateur est depuis longtemps en position 2 et le condensateur est déchargé.


Donnée : E = 5,0 V

1. Dès lors, comment faut-il manipuler le commutateur pour obtenir la courbe ci-dessous donnant l'évolution de la tension u_c aux bornes du condensateur en fonction du temps ?

2.
2.1. En respectant les conventions d'orientations du schéma du circuit :
     2.1.1. préciser le signe de l'intensité i du courant lors de la décharge ;
     2.1.2. écrire la relation entre l'intensité i du courant et la tension u_R ;
     2.1.3. écrire la relation entre la charge q de l'armature A du condensateur et la tension u_C ;
     2.1.4. écrire la relation entre l'intensité i et la charge q ;
     2.1.5. écrire la relation entre les tensions u_R et u_C lors de la décharge.

2.2. En déduire que, lors de la décharge, l'équation différentielle vérifiée par la tension u_C est de la forme :

2.3. Identifier le rapport .
2.4. Ce rapport est appelé constante de temps du dipôle RC.
     En recherchant son unité, justifier cette appellation.

3. La solution de l'équation différentielle précédemment établie est de la forme :

3.1. La tension u_C est exprimée en volts.
     Etablir l'expression du logarithme népérien de sa valeur, notée ln u_C.
     On rappelle que ln ab = ln a + ln b ;
     ln a^x = x. ln a ; ln e = 1.
3.2. On a tracé, à l'aide d'un logiciel, la courbe représentant ln u_C en fonction du temps
(cf document 2)

     3.2.1. Montrer que l'allure de cette courbe est en accord avec l'expression obtenue
en 3.1.
     3.2.2. Avec laquelle des trois valeurs proposées pour la constante de temps , les résultats de la modélisation vous semblent-ils en accord ?
             = 0,46 ms ; = 2,2 ms ; = 22 ms

4. Le logiciel permet de créer deux nouvelles grandeurs :

p = 100 représentant le pourcentage de charge restant à la date t

n = = représentant la durée de la décharge en unités de constante de temps (c'est à dire quant t = , n = 1; t = 2, n = 2, etc ...).

La courbe ci-dessous représente p en fonction de n.

  4.1. Pour n = 1, déterminer graphiquement le pourcentage de charge restante.
  4.2. Pour quelle valeur de n, la décharge peut-elle être considérée comme terminée ?
  4.3. Quelle est la durée minimale pendant laquelle le commutateur doit rester dans la position convenable pour que la charge du condensateur puisse être considérée comme totale ?

1. Le condensateur étant initialement déchargé il faut mettre le commutateur en position 1 pour charger le condensateur, puis le mettre sur la position 2 pour le décharger et obtenir la courbe du document 1.

2.

2.1.1. D'après les conventions d'orientation du schéma du circuit, le signe de l'intensité i du courant lors de la décharge est négatif.

2.1.2. D'après la loi d'Ohm,        u _R = R * i

2.1.3. Avec les conventions choisies, la charge portée par l'armature A est :     q = C * u _C

2.1.4. D'après la définition de l'intensité du courant,        

2.1.5. D'après la loi d'additivité des tensions, lors de la décharge :     u _AB+ u _BA = 0

2.2.D'après la relation précédente : u _C + u _R = 0

or u _R = R * i (d'après 2.1.2.)                   (d'après 2.1.4.)

de plus, q = C * u _C ( d'après 2.1.3.)

on obtient l'équation différentielle :       

2.3. D'après ce qui précède,        

or le produit R.C correspond à la constante de temps          

2.4. = RC
or R       homogène à       
   C       homogène à       
et I        homogène à       
d'où, après simplification,             a la dimension d'un temps donc son appellation est bien justifiée.

3. La solution de l'équation différentielle est de la forme : .         

3.1. ln u _c = ln (E * e^-)
       ln u _c = ln E + ln (e^-)
      ln u _c = ln E -

3.2.

3.2.1. La courbe représentant u _c en fonction du temps (document 2 ) est une droite affine (droite ne passant pas par l'origine) de pente négative et d'équation :
ln u _{c =} a * t + b
où a est la pente de la droite (a < 0 ) et b, l'ordonnée à l'origine (b = ln E = ln 5,0)

3.2.2. D'après la modélisation,           et = RC =

donc =       (proche de )        donc      = 22 ms

4.1. Par lecture graphique, p = 36%

4.2. La décharge peut être considérée comme terminée pour n= 5, c'est-à-dire quand t =

4.3 Puisqu'il faut 5 pour que le condensateur soit déchargé, il faut 5 pour pouvoir considérer la charge totale ( à travers la même résistance)