Annales gratuites Bac STI Génie Electronique : Filtre et circuit de mise en forme

Le schéma du filtre est représenté figure 8. Son étude est d'abord menée en régime sinusoïdal de fréquence f. On adopte la notation complexe où U₂ et U₃ sont associées aux tensions u₂ et u_3.

Figure 8

C.1. Comment un condensateur se comporte-t-il en très basse fréquence, en très haute fréquence ?

C.2. Montrer qu'il s'agit d'un filtre passe-bas.

C.3. Établir la fonction de transfert  et la mettre sous la forme :

Donner l'expression de f_c en fonction de R₃ et C_3.

C.4. La fréquence f_c de l'expression précédente représente la fréquence de coupure à —3 dB du filtre. Sachant que C₃ = 100 nF, calculer la valeur de R₃ permettant d'obtenir une fréquence de coupure f_c de 10 Hz.

C.5. Exprimer T (module de T).
Calculer la valeur limite T₀ de T lorsque f à 0.
Calculer la valeur limite de T_¥ de T lorsque f à ¥.

C.6. La tension u₂, appliquée à l'entrée du filtre, est maintenant une tension rectangulaire de fréquence f très supérieure à f_c dont la décomposition harmonique (limitée aux quatre premiers termes) peut s'écrire :

u₂(t) = <u₂> + Û₂₁ × sin (wt + q₂₁) + Û₂₃ × sin (3wt + q₂₃)

Expliquer pourquoi on peut considérer u₃ = <u₂>.

D. Le circuit de mise en forme
La tension u₃ issue du filtre est appliquée à l'entrée du montage représenté figure 9.

Figure 9

D.1. Sachant que le mode de fonctionnement du montage est linéaire, en déduire une relation simple entre les tensions u₃ et v^—.

D.2. Montrer que la tension de sortie u₄ dépend des tensions d'entrée u₃ et E₃ selon la relation :

D.3. Sachant que R₄ = 1 kW, déterminer les valeurs à donner à R₅ et E₃ pour que l'expression précédente devienne : u₄ = 4 × u₃ — 12

I - LES RESULTATS

Partie C

1. Lorsque w ®0 , C est équivalent à un interrupteur ouvert.
Lorsque w ® ∞, C est équivalent à un fil.

2. Lorsque w ® 0,u₂=u3 Lorsque w ® ∞, u₃ = 0
Donc c'est un filtre passe-bas.
3. Avec un diviseur de tension :

4. fc = 10 Hz donc R₃ = 159kΩ
5. T =  ; T0 = 1 et T∞ = 0

6. u₃ = <u₂>

Partie D

D.1 u₃ ≈ v^—

D.2  (théorème de superposition)

D.3 R₅ = 3kΩ et E₃ = 4V.

II - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Partie C

1. L'impédance du condensateur est

Pour les très basses fréquences (w ® 0), on a Zc ® ∞ donc le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.
Pour les très hautes fréquences (w ® ∞), on a Zc ® 0 donc C₃ se comporte comme un interrupteur fermé.

2 En basse fréquence, le filtre est donc équivalent à :

Puisque i=0 alors il n'y a pas de tension aux bornes de R₃ donc u₂=u₃.
En haute fréquence, on a :

En résumé :
● lorsque w ® 0, u₂ = u₃
● lorsque w ® ∞, u₃ = 0
Le filtre transmet donc les basses fréquences, c'est un filtre passe-bas.

3. Puisque i = 0, on peut appliquer la loi du diviseur de tension (en notation complexe) :

Partie D

D.1. En régime linéaire, ε = 0 donc une loi des mailles donne u₃ — v^— = 0 soit u₃ = v^—.

D. 2. On applique le théorème de superposition :

On en déduit

D.3 Pour que u₄ = 4u₃ — 12, il faut que 

La première relation donne R₅ = 3R₄ soit R₅ = 3kΩ.

La deuxième relation donne

III - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

Filtrage

Connaissances antérieures utiles
− Acquis du paragraphe 1.
− Acquis du programme de première : comportement quantitatif d’un condensateur et d’une bobine en régime transitoire.

Outils mathématiques
− Utilisation des nombres complexes.
− Utilisation de la calculatrice : module et argument d’un nombre complexe, logarithmes décimaux.

Connaissances scientifiques
− Dessiner le diagramme idéalisé A(f) du module de la fonction de transfert, d’un filtre passe-bas, d’un filtre passe-haut, d’un filtre passe-bande.
− Citer la différence entre un filtre passif et un filtre actif.
− Définir le gain d’un filtre, citer l’unité de gain.
− Définir la fréquence de coupure à – 3dB pour un filtre réel, la bande passante (par un graphique ou une formule).
− Citer un exemple de filtre passif de chaque sorte : passe-bas, passe-haut, passe-bande.
− Citer une application des filtres passe-bas, passe-haut, passe-bande.
− Dans le cas d’un filtre passe-bande (RLC) : citer la relation entre la fréquence du maximum, la bande passante à -3dB et le facteur de qualité.

Savoir-faire expérimentaux

− Effectuer les mesures permettant de relever la caractéristique de transfert d’un filtre.
− Apprécier rapidement le comportement en fréquence d’un filtre par balayage rapide avant de faire les mesures.
− Mesurer une fréquence de coupure à —3dB.
− Mesurer un gain en décibels.

Savoir-faire théoriques
N.B. : La théorie des diagrammes asymptotiques est hors programme.

− Effectuer une première analyse qualitative du comportement d’un filtre, dont le schéma est fourni, sans passer par l’expression de sa fonction de transfert (en étudiant le comportement du filtre pour f = 0 et pour f = ∞).
− Etablir l’expression de la fonction de transfert et en déduire le gain en dB et l’argument, pour les filtres suivants :
− Passe-bas et passe-haut du premier ordre.
− Passe-bande à circuit RLC parallèle.
− Dans le cas d’un filtre passe-bande (RLC) : établir l’expression de la fréquence du maximum.
− Utiliser une échelle logarithmique en fréquence pour représenter point par point, le module et l’argument d’une fonction de transfert.
− Utiliser une échelle linéaire en fréquence pour représenter le module et l’argument de la fonction de transfert dans le cas particulier d’un passe-bande sélectif.
− Déterminer, par le calcul ou par utilisation d’un graphe, les amplitudes des composantes spectrales d’un signal périodique à la sortie d’un filtre.