Annales gratuites Bac S : La galiote et son boulet

La galiote (7 points)

La galiote était un navire de guerre qui fit son apparition à la fin du XVII^ème siècle, sous le règne de Louis XIV. Les galiotes possédaient de lourds canons, fixés au pont, projetant des boulets de 200 livres (environ 100 kg) portant jusqu'à 1200 toises (environ 2400 m).
Selon la description détaillée de Renau, Inspecteur Général de la Marine, ces bâtiments sont destinés à emporter des canons en mer. Ils sont de moyenne grandeur et à fond plat. De par leur fabrication, l'angle de tir des canons est fixe et a pour valeur α = 45°, ce qui permet de tirer à la plus grande distance possible.
La structure d'une galiote doit être très robuste pour résister à la réaction considérable du boulet et leur échantillon¹ est ordinairement aussi fort que celui d'un vaisseau de 50 canons.

1 dimension et épaisseur des pièces utilisées pour la construction.

D'après le site Internet de l'Institut de Stratégie Comparée.

Les parties 1, 2 et 3 de cet exercice sont indépendantes.
Certaines aides au calcul peuvent comporter des résultats ne correspondant pas au calcul à effectuer.

1. Action de la poudre de canon sur le boulet
L'éjection du boulet est provoquée par la combustion de la poudre. Une force de poussée est donc exercée sur le boulet par l'ensemble {galiote + canon + gaz}.
Justifier l'expression soulignée dans le texte ci-dessus, à l'aide d'une des trois lois de Newton. Enoncer cette loi. (On pourra s'aider d'un schéma).

2. La trajectoire du boulet
On souhaite étudier la trajectoire du centre d'inertie G du boulet de masse m. L'étude est faite dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen. Le repère d'étude est (O, ) et l'origine des dates est choisie à l'instant où le boulet part du point O (voir figure 1 ci-dessous).
Le vecteur vitesse initiale  du point G est incliné d'un angle α (appelé angle de tir) par rapport à l'horizontale. Une fois le boulet lancé, la force de poussée de la partie précédente n'intervient plus.

Données :
Volume du boulet : V = 16 dm³ = 16 L
Masse du boulet : m = 100 kg
Valeur du champ de pesanteur : g = 10 m.s^-2
Masse volumique de l'air :  = 1,3 kg.m^-3

2.1. Inventaire des forces agissant sur le boulet après son lancement

2.1.1. La poussée d'Archimède
Donner l'expression littérale de la valeur F_A de la poussée d'Archimède puis la calculer.
2.1.2. Le poids
Calculer la valeur P du poids du boulet après avoir précisé son expression littérale.
2.1.3. Dans cet exercice, on pourra négliger la poussée d'Archimède devant le poids si la valeur de ce dernier est au moins cent fois plus grande que celle de la poussée d'Archimède.
Montrer que l'on est dans cette situation.
2.1.4. Pendant le vol, compte tenu de la masse, de la vitesse et de la forme du boulet, on fait l'hypothèse que les forces de frottement dans l'air sont négligeables devant le poids.
En tenant compte de la remarque et des résultats précédents, établir le bilan des forces exercées sur le système {boulet} pendant le vol.

2.2. Equation de la trajectoire
Dans toute cette partie, on négligera la poussée d'Archimède et on ne tiendra pas compte des forces de frottement dues à l'air.

2.2.1. En appliquant la deuxième loi de Newton, montrer que les équations horaires du mouvement du point G s'écrivent :
x(t) = (v₀.cos α).t
et y(t) = -g.t² + (v₀.sin α).t
2.2.2. Montrer que l'équation de la trajectoire du boulet peut se mettre sous la forme y(x) = Ax² + Bx. On donnera les expressions littérales de A et B et on précisera leurs unités respectives.

2.3. Portée du tir
L'équation de la trajectoire du boulet peut se mettre sous la forme y(x) = x.(Ax + B).
Au cours d'un tir d'entraînement, un boulet tombe dans l'eau. Dans ces conditions, la distance entre le point de départ du boulet et son point M d'impact sur l'eau est appelée portée (voir figure 1 page 2).
On négligera la différence d'altitude entre les points O et M devant les autres distances.

2.3.1. Exprimer le portée d du tir en fonction de A et B.
2.3.2. L'expression littérale de la portée d en fonction de v₀, α et g est : d = .

Retrouver, en la justifiant, la valeur α = 45° donnée dans le texte, pour laquelle la portée est maximale, pour une vitesse  donnée.
2.3.3. A partir de la question précédente et des données, calculer la vitesse initiale du boulet pour atteindre la portée maximale donnée dans le texte.
2.3.4. En fait, les frottements dans l'air ne sont pas négligeables.
Avec un angle de tir restant égal à 45°, la vitesse initiale du boulet doit-elle être supérieure ou inférieure à celle trouvée à la question 2.3.3. pour obtenir la même portée maximale ? Justifier sans calcul.

3. Restauration d'un boulet par électrolyse
Un boulet est retrouvé par un archéologue, qui le restaure par électrolyse en solution basique. Ce procédé a pour but, notamment :
● d'éliminer la gangue (substance qui forme une enveloppe autour d'une autre matière) qui entoure le boulet ;
● de débarrasser l'objet de tous les ions chlorure qui, au contact de l'humidité de l'air et du dioxygène amènent à la formation d'acide chlorhydrique conduisant à la destruction rapide du boulet. Ces ions chlorure sont également présents dans la gangue.

Le schéma de principe de l'électrolyse est le suivant :

La lente destruction de la gangue libère dans l'électrolyse les ions chlorure qu'elle contenait.
L'équation de la réaction modélisant l'électrolyse est :
2 Cl^-(aq) + 2 H₂O (l) = Cl₂(g) + H₂(g) + 2 HO^-(aq)
Les couples d'oxydoréduction mis en jeu sont : Cl₂(g) / Cl^-(aq) et H₂O(l) / H₂(g)

3.1. La réaction se produisant à l'anode est-elle une oxydation ou une réduction ?
3.2. Ecrire l'équation de la réaction ayant lieu à l'anode. A quelle borne du générateur est reliée cette électrode ?
3.3. A l'une des électrodes, on observe un dégagement de dihydrogène. L'équation de la réaction électrochimique associée est : 2 H₂O(l) + 2 e^- = H₂(g) + 2 HO^-(aq)           (1)
La pression exercée par le dihydrogène permet de décoller la gangue. L'élimination de la gangue se fait sous une intensité I constante et pendant une durée Δt qui dépendent, entre autre, de la nature de l'objet et de son état de corrosion.

Données :
Charge élémentaire : e = 1,6 x 10^-19 C
Constante d'Avogadro : N_A = 6,0 x 10²³ mol^-1
Intensité du courant : I = 1,0 A
Durée de l'électrolyse : Δt = 530 heures

On note Q la valeur absolue de la charge électrique totale ayant circulé dans le dispositif pendant la durée Δt de l'électrolyse.

3.3.1. Donner l'expression littérale du nombre N d'électrons transférés et celle de la quantité d'électrons n(e^-) en fonction des grandeurs données.
3.3.2. Pour simplifier, on fait l'hypothèse que la réaction correspondant à l'équation (1) est la seule à se produire au niveau de l'électrode concernée.
En s'aidant éventuellement d'un tableau d'avancement, établir une relation entre la quantité n(H₂) de dihydrogène dégagé et la quantité d'électrons n(e^-) et en déduire que n(H₂) = .
3.3.3. Calculer la valeur de n(H₂).
3.3.4. En déduire quel sera le volume de dihydrogène dégagé dans les conditions de l'expérience. On donne le volume molaire des gaz dans les conditions de l'expérience : V_M = 24 L.mol^-1.

I - LES RESULTATS

1. Troisième loi de Newton.
Si un corps A exerce sur B une force  alors B exerce une force sur A telle que

2.1.1 F_A = ρ.V.g
F_A = 0, 21 N
2.1.2 P = m.g
P = 1000 N
2.1.3

2.1.4 Bilan des forces

2.2.1 On intègre deux fois l'expression de la deuxième loi de Newton projetée dans le repère d'étude. On utilise les conditions initiales pour déterminer les constantes d'intégration.
2.2.2 y(x) = Ax² + Bx.

Avec  

2.3.1

2.3.2 V₀ » 150 m.s-1.
2.3.4 Il faut une vitesse initiale supérieure à 150 m s^-1.
3.1 Une oxydation.
3.2  

L'anode est reliée à la borne positive du générateur.

3.3.1  et

3.3.2 On utilise  pour démontrer ce qui est demandé.

3.3.3 n(H₂) » 1,0 × 10 ¹ mol.

3.3.4 V(H₂) » 240 L.

II - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1. Pour éjecter loin un gros boulet il faut qu'il subisse une force importante. D'après la troisième loi de Newton le boulet exerce aussi (lors de son éjection) une force importante sur la structure de la galiote. Cette structure doit être capable d'y résister.
Enoncé de la troisième loi de Newton :
Si un corps A exerce sur B une force  alors B exerce une force sur A telle que

® Le schéma n'était pas obligatoire.

2.1.1 La poussée d'Archimède a pour valeur (F_A), le poids du volume d'air déplacé par le boulet :
F_A = ρ.V.g     (avec V = 16 dm³ = 1.6.10^{-2 m3})
F_A = 1,3 × (1,6.10^-2) × 10.
F_A = 2,1.10 ^-1.
Soit F_A = 0,21 N.
® Attention, c'est la masse volumique de l'air qui intervient.

2.1.2 Par définition P = m.g
P = 100 × 10
Soit P = 1000N.
2.1.3  

Donc on peut négliger F_A devant P.

2.1.4 Puisqu'on néglige la poussée d'Archimède et les forces de frottement, le bilan des forces exercées sur le système {boulet} pendant le vol se résume à son poids .
® Il s'agit donc d'une chute libre.

2.2.1 D'après la deuxième loi de Newton :

Û

Û   (1)

On projette la relation (1) dans le repère d'étude.

(1) Û

Par une première intégration et en utilisant les coordonnées du vecteur vitesse initiale  on obtient :

(1) Û

® Attention, ici l'axe des ordonnées étant orienté vers le haut, l'ordonnée de  est (-g).

2.2.2 On élimine le temps dans les équations horaires :

(2) Û

(3) Þ

D'où

● Y (x) est de la forme Y(x) = Ax² + Bx.
Avec

● g est en m.s^-2,cos a n'a pas d'unité et V₀² est en m².s^-2. On en déduit :  donc A est en m^-1.

● tan a n'a pas d'unité, donc B n'a pas d'unité.

2.3.1 La portée est l'abscisse (non nulle) du point de la trajectoire dont l'ordonnée est nulle.
D'après l'équation de la trajectoire :

y_M  = 0 = x_M (Ax_M + B)

<=> x_M = 0 ou x_M = -

d n'étant pas nulle on a

à A étant négatif, on a bien une valeur positive pour d.

2.3.2 On donne d =

Si la valeur de V_o est fixée, d est maximale pour sin 2α = 1
On en déduit 2α = 90° soit α = 45°

2.3.3 Comme  alors

Cela donne

soit 1,5 × 10² m.s^—1(=150m.s^-1)

à C'est environ la moitié de la vitesse du son dans l'air.

2.3.4 Les frottements diminuent la vitesse, donc la vitesse initiale doit être supérieure à celle trouvée précédemment si on veut la même portée maximale.

3.1 L'anode est le lieu de l'oxydation.

à Moyen mnémotechnique : "anode" et "oxydation" commencent tous les deux par une voyelle.

3.2 D'après l'équation de la réaction, c'est l'ion chlorure qui est oxydé en dichlore (oxydation = perte d'électrons)
Donc à l'anode : 2Cl^—_(aq) = Cl²_(g) + 2e^—

Pour que les électrons libérés par cette oxydation quittent l'électrode, il faut la brancher à la borne + du générateur.

à Le risque était grand de faire des confusions avec l'étude d'une pile électrochimique.

3.3.1 Le nombre d'électrons transférés :

N =

donc

de plus n (e^—) =

donc

à L'énoncé n'introduisant pas le faraday, il est mieux de ne pas l'utiliser.

3.3.2 D'après le tableau d'avancement, au bout de , n (H₂) = x et n (e^—) = 2x

donc n (H₂) =

d'où n (H₂) =

à Un tableau d'avancement n'était pas obligatoire.

3.3.3 

à La notation 10 à la place de 1.0 x 10¹ ne permettait pas de respecter le nombre de chiffres significatifs.

3.3.4

240 L de dihydrogène seraient dégagés.

III - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Mise en évidence expérimentale de la possibilité, dans certains cas, de changer le sens d'évolution d'un système en imposant un courant de sens inverse à celui observé lorsque le système évolue spontanément (transformation forcée). - Réactions aux électrodes, anode et cathode.
● Application à l'électrolyse : principe et exemples d'applications courantes et industrielles.

● Ecrire les réactions aux électrodes et relier les quantités de matière des espèces formées ou consommées à l'intensité du courant et à la durée de la transformation, dans les piles et lors d'une électrolyse.
● Savoir que l'électrolyse est une transformation forcée.
● Connaissant le sens du courant imposé par le générateur, identifier l'électrode à laquelle se produit la réaction d'oxydation (anode) et l'électrode à laquelle se produit la réaction de réduction (cathode).

● Accélération : aG = lim Dt—0 (DvG /Dt) = dvG/dt ; vecteur accélération (direction, sens, valeur).
● Deuxième loi de Newton appliquée au centre d'inertie.
● Faire l'inventaire des forces extérieures appliquées à ce système.
● Définir le vecteur accélération et exploiter cette définition, connaître son unité.
● Enoncer les trois lois de Newton.
● Connaître les caractéristiques de la poussée d'Archimède.
● Mouvement de projectiles dans un champ de pesanteur uniforme.
   Þ Application de la deuxième loi de Newton au mouvement du centre d'inertie d'un projectile dans un champ de pesanteur uniforme dans le cas où les frottements peuvent être négligés.
   Þ Equations horaires paramétriques
   Þ Equation de la trajectoire
   Þ Importance des conditions initiales

IV - LES DELIMITATIONS DE L'EXERCICE

L'exercice est un gros exercice qui peut effrayer un peu au départ, au moins par son barème. Un exercice sur 7 points c'est rare ! Cependant on se rend vite compte qu'il n'est en fait que la juxtaposition de deux exercices plus modestes. L'un de physique sur la mécanique et l'autre sur l'électrolyse. Ces deux thèmes avaient d'ailleurs été correctement pressentis dans nos pronostics.
L'exercice de mécanique se cantonne au cas classique de l'étude d'un mouvement plan dans un champ de pesanteur uniforme. C'est un exercice très guidé où il est souvent possible de s'apercevoir de ses éventuelles erreurs de calcul.
La partie sur l'électrolyse n'est pas non plus très originale. On commence par identifier les réactions aux électrodes puis par une étude stœchiométrique on prévoit un volume de gaz produit. Il n'y a pas de difficultés particulières, pour peu que la chimie de première S soit bien assimilée. Il est à noter que les aides aux calculs fournies obligeaient à utiliser la notation scientifique.