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Annales gratuites Bac S : Radioactivité et archéologie

Le sujet  2006 - Bac S - Physique - Exercice Imprimer le sujet
Avis du professeur :

Le sujet porte sur la radioactivité et son application à la datation d'un échantillon du corps momifié d'Ötzi, découvert par des randonneurs en 1991. Le thème "radioactivité" n'était pas "tombé" depuis ces 4 dernières années en sujet national.
Le sujet est relativement facile mais le texte introductif, un peu ardu, peut impressionner.
Les questions ultérieures, elles, sont classiques.

LE SUJET


LA RADIOACTIVITE AU SERVICE DE L'ARCHEOLOGIE

Isotope radioactif du carbone, le "carbone 14" noté 14C est formé continuellement dans la haute atmosphère. Il est très réactif et donne rapidement du "gaz carbonique" (dioxyde de carbone) qui, en quelques mois, se mélange avec l'ensemble du gaz carbonique de notre atmosphère. Il sera donc assimilé par les plantes au même titre que le gaz carbonique produit avec du carbone stable (les isotopes 12C et 13C ). On le retrouvera donc comme constituant de la matière organique des animaux herbivores et carnivores. [...]
Vers 1950, le chimiste américain W. Libby a démontré [...] que tous les êtres vivants sont caractérisés par le même rapport du nombre de noyaux de 14C au nombre de noyaux de 12C :  

En conséquence, un gramme de carbone pur extrait d'un être vivant présente une activité due au 14C, voisine de 13,6 désintégrations par minute, ce qui correspond à "un âge zéro". Dans un animal ou un végétal mort (tronc d'arbre, coquille fossile, os... trouvé dans une caverne), le 14C "assimilé" par l'animal ou la plante quand il était vivant, décroît exponentiellement en fonction du temps du fait de sa radioactivité à partir de l'instant de sa mort. La comparaison(1) de cette activité résiduelle aux 13,6 désintégrations par minute fournit directement l'âge de l'échantillon fossile [...]. Au bout de 40 millénaires, iI reste moins de 1% du 14C que contenait initialement un échantillon fossile ; cette teneur résiduelle devient trop faible pour être déterminée avec précision.

J.C Duplessy et C. Laj
D'après une publication du CEA
Clefs CEA n°14 automne 1989

(1) : On suppose que la valeur 13,6 désintégrations par minute, pour un organisme vivant, est restée constante au cours des derniers millénaires.

 

1. Désintégration du "carbone 14"
On donne les numéros atomiques suivants : Z = 6 pour le carbone (C) et Z = 7 pour l'azote (N).

1.1. Pourquoi les noyaux de symboles  sont-ils appelés isotopes ?

1.2. Donner la composition du noyau de symbole.

1.3. Le "carbone 14" se désintègre "en azote 14".
Ecrire l'équation de désintégration du "carbone 14" en supposant que le noyau fils n'est pas obtenu dans un état excité. S'agit-il d'une radioactivité α, β+, β?

 

2. Propriétés des désintégrations radioactives
2.1.
Donner les caractéristiques des transformations radioactives en complétant les phrases du cadre ci-dessous à l'aide des mots ou expressions proposés.

2.1.1

La transformation radioactive d'un noyau possède un caractère...

 

Mots proposés :

● prévisible

● aléatoire

● périodique

2.1.2.

La désintégration d'un noyau... celle d'un noyau voisin

 

Expressions proposées

● n'affecte pas

● modifie

● est perturbée par

2.1.3.

Un noyau "âgé" a... de se désintégrer qu'un noyau "jeune".

 

Expressions proposées :

● plus de chances

● moins de chances

● autant de chances

2.1.4.

L'évolution d'une population d'un grand nombre de noyaux radioactifs possède un caractère...

 

Mots proposés :

● prévisible

● aléatoire

● périodique

2.2. On propose trois expressions mathématiques pour représenter l'évolution du nombre N de noyaux de "carbone 14" restant dans l'échantillon à la date t, λ étant la constante radioactive relative à la désintégration étudiée (λ > 0) :

(a) N = N0.et
(b) N = N0— λt
(c) N = N0.e λt

2.2.1. Dans chacune des trois expressions ci-dessus :
● Que vaut N à t = 0 ?
Quelle est la limite de N quand t tend vers l'infini ?
En déduire l'expression à retenir parmi les propositions (a), (b) et (c), en justifiant.

2.2.2. L'activité à l'instant de date t est donnée par la relation A = A0.eλt.
Que représente A0  ?

2.2.3. En s'aidant du texte, donner pour un échantillon de 1,0 g de carbone pur, extrait d'un être vivant, la valeur de A0.

2.2.4. A quel événement correspond "l'âge zéro" cité dans le texte ?

 

3. Datation au "carbone 14"
Le temps de demi-vie de l'isotope  est t1/2 =5,73 x 105 ans.
3.1. Qu'appelle-t-on temps de demi-vie t1/2 d'un échantillon radioactif ?

3.2. Montrer que λ.t1/2=ln2 à partir des réponses données aux questions 2, 2.1. et 3.1.

3.3. Calculer la valeur de λ dans le cas du "carbone 14", en gardant t1/2 en années.

3.4. Plusieurs articles scientifiques parus en 2004 relatent les informations apportées par la découverte d'Otzi, un homme naturellement momifié par la glace et découvert, par des randonneurs, en septembre 1991 dans les Alpes italiennes.
Pour dater le corps momifié, on a mesuré l'activité d'un échantillon de la momie. On a trouvé une activité égale à 7,16 désintégrations par minute pour une masse équivalente à 1,0 g de carbone pur.
Donner l'expression littérale de la durée écoulée entre la mort d'Otzi et la mesure de l'activité de l'échantillon.
Calculer cette durée.

3.5. A Obock (en République de Djibouti), des chercheurs ont étudié un corail vieux de 1,2 × 1O5 ans (soit cent vingt mille ans).
D'après le texte, ce corail a-t-il pu être daté par la méthode utilisant le "carbone 14" ? Justifier la réponse.

 

4. Choix du radioélément
4.1.
Pour dater des roches très anciennes, on utilise parfois la méthode potassium-argon.
Le "potassium 40", de demi-vie 1,3 × 109 ans, se transforme en "argon 40".
Quel pourcentage de noyaux de "potassium 40" reste-t-il dans une roche au bout de 4 fois le temps de demi-vie ?

4.2. Comme il est indiqué dans le texte pour le "carbone 14", on suppose que la teneur résiduelle minimale permettant d'effectuer une datation avec le "potassium 40" est également de 1 % de la teneur initiale.
En comparant l'âge de la Terre, qui est de 4.5 × 109 ans, à la demi-vie du "potassium 40", préciser si la méthode de datation par le "potassium 40" permet de mesurer l'âge de la Terre. Justifier la réponse.

LE CORRIGÉ


I - LES RESULTATS

1.1 :  et
Isotopes : Z identiques ; A différents

1.2. noyau : 6 protons (Z = 6) ; 8 neutrons (N = A — Z)

1.3.
radioactivité β—

2.1. Mots à choisir :

2.1.1. aléatoire

2.1.2. n'affecte pas

2.1.3. autant de chances

2.1.4. prévisible

2.2.1.

2.2.2. A0 = activité de l'échantillon à la date = 0.

2.2.3. A0 = 13.6 désintégrations par minute soit

2.2.4. "Âge zéro" correspond à la mort de l'animal ou du végétal.

3.1. t1/2 = durée au bout de laquelle l'activité de l'échantillon est divisée par 2.

3.2.

conduit à

 

3.3. Pour le "carbone 14", λ = 1,21.10−4 an−1

3.4. Soit

t = 5,30.103 ans.

3.5. Le corail est trop vieux pour être daté par la méthode utilisant le "carbone 14".

4.1.

4.2. L'âge de la Terre peut être mesuré par la méthode utilisant le "potassium 40".

 

II - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1. Désintégration du "carbone 14".

1.1. Les noyaux  et  ont le même nombre de protons (Z = 6) mais des nombres de nucléons différents (A = 12 ou 13) : ils sont dits isotopes.

1.2. Noyau : il contient
6 protons (Z = 6)
8 neutrons (N = A — Z)

1. 3. Equation de désintégration du "carbone 14" en "azote 14" :

La particule émise est donc un électron : la radioactivité est de type β—

L'équation est :

 Vous pouviez vous contenter de donner l'équation sans démonstration.

2.1. Caractéristiques de transformations radioactives.

2.1.1. La transformation radioactive d'un noyau possède un caractère aléatoire.

2.1.2. La désintégration d'un noyau n'affecte pas celle d'un noyau voisin.

2.1.3. Un noyau "âgé" a autant de chances de se désintégrer qu'un noyau "jeune".

2.1.4. L'évolution d'une population d'un grand nombre de noyaux radioactifs possède un caractère prévisible.

2.2. Expressions mathématiques:

2.2.1.
(a) pour  :

(b) pour  :

(c) pour  :

Toutes les expressions pourraient convenir pour = 0.

Par contre, quand t ® ∞, on dit dans le texte introductif que "au bout de 40 millénaires, la teneur résiduelle en 14C devient très faible" donc seule l'expression (a) convient.

On a donc

2.2.2. A0 = activité de l'échantillon à la date t = 0.

2.2.3. D'après le texte, "un gramme de carbone pur extrait d'un être vivant, présente une activité voisine de 13,6 désintégrations par minute" ("âge zéro").

Donc pour 1,0 g de carbone pur,

 désintégrations par seconde soit

 Vous n'étiez pas obligés de citer le texte mais il fallait l'avoir lu avec sérénité pour extraire cette information.

 L'unité "Becquerel" n'est a priori pas exigée dans cette question.

2.2.4. D'après le texte l'évènement correspondant à "l'âge zéro" est celui de la mort de l'animal ou du végétal étudié.

3. Datation du "carbone 14"

3.1. Temps de demi-vie = durée au bout de laquelle l'activité (ou le nombre de noyaux radioactifs) de l'échantillon est divisée par 2.

3.2. D'après le 2. 2. 1,

D'après le 3. 1,

Donc

3.3.

Pour le "carbone 14", t1/2 = 5,73.103 ans
donc sa constance radioactive est λ = 1,21.10−4 an−1
 Attention à l'unité de λ

3.4. A la date t (après la mort de d'Ötzi), l'activité de l'échantillon de momie (pour une masse équivalente à 1,0 g de carbone pur) est, d'après le 2.2.2., définie par
A = A0 . e
λt

donc

Soit

Application numérique

Soit t = 5,30.103 ans.

 En conservant le rapport , il n'y avait pas de conversion d'unité à effectuer.
 Vous pouviez donner l'expression

3.5. Le texte précise que "au bout de 40 000 ans la teneur résiduelle en 14C devient trop faible pour être déterminée avec précision", donc le corail vieux de 120 000 ans n'a pu être daté par la méthode utilisant le "carbone 14".

4. Choix du radioélément

4.1. Le pourcentage de noyaux restant à une date t est

Pour t = 4 × t1/2

4.2. Âge de la Terre = tT = 4,5.109 ans.

t1/2(40K) = 1,3.109 ans

soit

L'âge de la Terre est inférieur à 4 fois le temps de demi-vie du "potassium 40" ; le pourcentage de noyaux restant serait donc supérieur à 6,25 %, c'est-à-dire largement supérieur à 1 % : la datation par le "potassium 40" permet donc de mesurer l'âge de la Terre.

 

III - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Connaître la signification du symbole et donner la composition du noyau correspondant.
● Définir l'isotopie et reconnaître des isotopes
● Connaître et utiliser les lois de conservation.
● Définir la radioactivité a, b-, b+, l'émission g et écrire l'équation d'une réaction nucléaire pour une émission a, b- ou b+ en appliquant les lois de conservation.
● A partir de l'équation d'une réaction nucléaire, reconnaître le type de radioactivité.
● Connaître la définition de la constante de temps et du temps de demi-vie.
● Utiliser les relations entre l, et t1/2.
● Expliquer le principe de la datation, le choix du radioélément et dater un événement.

 

IV - LES DELIMITATIONS DE L'EXERCICE

Le sujet porte sur une application de la radioactivité à la datation en archéologie.
La première partie est une "mise en jambe" avec des questions de cours simples.
La deuxième partie commence à faire la liaison entre le cours théorique et le texte de référence du CEA et vous fait réfléchir à la validité d'une formule confrontée aux résultats expérimentaux.
Les parties 3 et 4 vous mettent en situation de chercheurs qui doivent choisir la méthode de datation à utiliser et naturellement, savoir l'exploiter.
Cet exercice était extrêmement complet sur le thème de la radioactivité et extrêmement intéressant quant à ses applications.

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