Annales gratuites Bac S : Satellites terrestres

Passionné d'astronomie, un élève a collecté sur le réseau Internet de nombreuses informations concernant les satellites artificiels terrestres. Il met en œuvre ses connaissances de physique pour les vérifier et les approfondir.

Dans tout l'exercice, on notera :
Masse de la Terre : M_T (répartition de masse à symétrie sphérique de centre O)
Rayon de la Terre : R_T
Masse du satellite étudié : m_S
Altitude du satellite étudié : h
Constante de gravitation universelle : G

Les questions 2 et 3 sont indépendantes.

Si la possibilité théorique de mettre un satellite sur orbite autour de la Terre fut signalée en 1687 par Isaac Newton, il a fallu attendre le 4 octobre 1957 pour voir le lancement du premier satellite artificiel, Spoutnik 1, par les soviétiques.

1.1. Exprimer vectoriellement la force exercée par la Terre sur Spoutnik 1, supposé ponctuel, et la représenter sur un schéma.
1.2. L'étude se fait dans un référentiel géocentrique considéré comme galiléen.
En appliquant la deuxième loi de Newton établir l'expression vectorielle de l'accélération du satellite.

Le télescope spatial Hubble, qui a permis de nombreuses découvertes en astronomie depuis son lancement en 1990, est en orbite circulaire à 600 km d'altitude et il effectue un tour complet de la Terre en 100 minutes.

2.1. Etude du mouvement du satellite Hubble dans un référentiel géocentrique
2.1.1. En reprenant les résultats de la partie 1, montrer sans calcul que le mouvement circulaire de Hubble est uniforme.
2.1.2. Exprimer littéralement sa vitesse en fonction des grandeurs M_T, R_T, h et G.
2.1.3. Exprimer la période T de son mouvement en fonction des grandeurs précédentes puis retrouver la troisième loi de Kepler appliquée à ce mouvement circulaire (l'énoncé de cette loi n'est pas demandé ici).
2.2. Cas d'un satellite géostationnaire
Les satellites météorologiques comme Météosat sont des appareils d'observation géostationnaires.
2.2.1. Qu'appelle-t-on satellite géostationnaire ?
2.2.2. On propose trois trajectoires hypothétiques de satellite en mouvement circulaire uniforme autour de la Terre

a. Montrer que, seule, l'une de ces deux trajectoires est incompatible avec les lois de la mécanique.
b. Quelle est la seule trajectoire qui peut correspondre au satellite géostationnaire ? Justifier la réponse.

Les satellites peuvent être placés sur différentes orbites, en fonction de leur mission. Un incident lors de leur satellisation peut modifier l'orbite initialement prévue. Hipparcos, un satellite d'astrométrie lancé par la fusée Ariane le 8 août 1989, n'a jamais atteint son orbite prévue. Un moteur n'ayant pas fonctionné, il est resté sur une orbite elliptique entre 36 000 km et 500 km d'altitude.

3.1. Les satellites artificiels obéissent aux lois de Kepler.
La deuxième loi de Kepler, dite "loi des aires", précise que "des aires balayées par le rayon, reliant le satellite à l'astre attracteur, pendant des durées égales, sont égales".
Énoncer les deux autres lois dans le cas général d'une orbite elliptique.
3.2. Sans souci exagéré d'échelle ni d'exactitude de la courbe mathématique, dessiner l'allure de l'orbite du satellite Hipparcos. Placer sur ce schéma le centre d'inertie de la Terre et les points A et P correspondant respectivement aux valeurs 36 000 km et 500 km données dans le texte.
3.3. En appliquant la loi des aires au schéma précédent montrer, sans calcul, que la vitesse d'Hipparcos sur son orbite n'est pas constante.
3.4. Préciser en quels points de son orbite sa vitesse est maximale, minimale.

Aujourd'hui plus de 2 600 satellites gravitent autour de la Terre. Ils interviennent dans de nombreux domaines : téléphonie, télévision, localisation, géodésie, télédétection, météorologie, astronomie. Leur spectre d'observation est vaste, optique, radar, infrarouge, ultraviolet, écoute de signaux radioélectriques ...

4.1. Sachant que le spectre optique correspond à la lumière visible, donner les limites des longueurs d'onde dans le vide de ce spectre et situer l'infrarouge et l'ultraviolet.
4.2. La célérité de la lumière dans le vide est 3,0 x 10⁸ m.s^-1, en déduire les limites en fréquence de la lumière visible.
4.3. Pourquoi doit on préciser "dans le vide" pour donner les valeurs des longueurs d'onde ?
 

1.1.

est le vecteur normal dans la base de Frénet
TS = R_T + h
on a (1)

1.2. Dans le référentiel géocentrique (galiléen), la deuxième loi de Newton appliquée au satellite s'écrit :
(où est l'accélération du centre de gravité du satellite)
La seule force agissant sur le satellite est donc :

d'où (2)

2.1.1. D'après l'équation (2) on peut dire que l'accélération du satellite n'est que normale. Donc la composante tangentielle de l'accélération est nulle :

Le mouvement est bien uniforme.

2.1.2. Par définition, l'accélération normale vaut :
avec
D'après l'équation (2) :

Donc
(3)

2.1.3. Le satellite parcourt un périmètre P du cercle trajectoire en une période T, à la vitesse v, donc :
(4)
En prenant le carré de l'équation (4) on obtient :
(5)
(5) est la troisième loi de Kepler.

2.2.1. Un satellite est géostationnaire s'il reste toujours à la verticale d'un même point de la surface de la Terre.

2.2.2.a D'après la première loi de Kepler le plan de la trajectoire du satellite doit contenir le centre de la Terre. Donc seule la trajectoire de la figure 2 est incompatible avec les lois de la mécanique.

2.2.2.b Lorsque la terre tourne autour de son axe, le satellite de la figure 3 ne peut rester à la verticale d'un même point de la surface de la Terre. Donc seule la trajectoire de la figure 1 peut correspondre au satellite géostationnaire.

3.1. Première loi de Kepler :
Dans le référentiel centré sur l'astre attracteur la trajectoire du centre d'un satellite est une ellipse dont l'astre attracteur occupe l'un des foyers.

Troisième loi de Kepler :
Pour tous les satellites en orbite autour d'un même astre attracteur, le rapport entre le carré de la période de révolution et le cube du demi-grand axe est le même.

3.2.

D'après la loi des aires si le satellite passe de P à P' et de A à A' en une même durée alors S₁=S₂.
Or PT<AT donc PP'>AA' ce qui implique que la vitesse du satellite est plus grande près de P que près de A. La vitesse du satellite n'est donc pas constante.
3.4. D'après ce qui vient d'être dit, plus le satellite est proche de la Terre plus il va vite. Donc c'est en P que sa vitesse est maximale et en A que sa vitesse est minimale.

4.2. Par définition

Pour = 400 nm on a
Pour = 800 nm on a

Les limites demandées sont f₁ = 7,5 ´ 10¹⁴ Hz et f₂ = 3,8 ´ 10¹⁴ Hz

4.3. On doit préciser "dans le vide" pour donner des valeurs de longueur d'onde car la longueur d'onde change lorsque l'onde ne se propage plus dans le vide (seule la fréquence de l'onde est conservée lors d'un changement de milieu).