Bac S Blanc Mathématiques 2002 : Fonction exponentielle

Une étude de fonction dont la courbe représentative devient le lieu géométrique du barycentre d'un système de points pondérés paramétré.

1 - a)

On a
Et

Donc .

D'autre part,

donc

et donc

1 - b)

On a montré que
Donc la droite d'équation y = x/2 est asymptote à C lorsque x tend vers .

On a pour tout
Et
Donc C est au dessus de et C est en dessous de .

C et se coupent en leur point de coordonnées

2)

Les fonctions y = 1/2 x et y = 1/2 (1-x) sont des fonctions linéaire et affine, dérivables sur R
La fonction est dérivable sur R.

La fonction f est somme et produit de fonctions dérivables, elle est donc dérivable sur R.

, d'où :

3-a)

La fonction u est somme et produit de fonctions dérivables sur R donc elle est dérivable sur R. On a :

D'où les variations de u :

3 - b) On a u(0) = 2 et , d'où u(1)<0.

Sur l'intervalle [ 0 ;1 ] la fonction u est strictement décroissante et dérivable, elle définit une bijection vers l'intervalle
Et comme u(0) ´ u(1) < 0, il existe une unique valeur telle que .

près par défaut.

3 - c) D'après le tableau de variation établi en a), on a u(x) > 0 pour et pour

4) On a f'(x) = 1/2 u(x)

D'où le tableau de variation

1- Soit
et t est l'abscisse de d'où les coordonnées de
L'équation de la tangente à une courbe en un point d'abscisse est de la forme :
avec ici ; et ; d'où l'équation de la tangente :

Le point a donc pour coordonnées .

2 -

On a .

2 - a) Si t = -2,

On peut construire l'isobarycentre du système milieu du segment puis l'isobarycentre du système milieu du segment , puis on détermine le milieu du segment déterminé par les deux milieux précédents.

2 - b) On a

Soit (x,y) les coordonnées de .

On a

D'où

3 - On a :

Donc lorsque t décrit R le point décrit la courbe C représentative de la fonction f.

1 -

2 -

Posons
On a donc
On sait que

D'où :

Ce sujet ne présente pas de difficulté majeure mais il nécessite une très bonne connaissance du cours sur un "spectre" assez large, ainsi qu'une bonne rigueur dans la conduite des calculs et l'interprétation des résultats.