Bac S Blanc Physique 2005 : Satellites terrestres

1.1.

est le vecteur normal dans la base de Frénet
TS = R_T + h
on a (1)

1.2. Dans le référentiel géocentrique (galiléen), la deuxième loi de Newton appliquée au satellite s'écrit :
(où est l'accélération du centre de gravité du satellite)
La seule force agissant sur le satellite est donc :

d'où (2)

2.1.1. D'après l'équation (2) on peut dire que l'accélération du satellite n'est que normale. Donc la composante tangentielle de l'accélération est nulle :

Le mouvement est bien uniforme.

2.1.2. Par définition, l'accélération normale vaut :
avec
D'après l'équation (2) :

Donc
(3)

2.1.3. Le satellite parcourt un périmètre P du cercle trajectoire en une période T, à la vitesse v, donc :
(4)
En prenant le carré de l'équation (4) on obtient :
(5)
(5) est la troisième loi de Kepler.

2.2.1. Un satellite est géostationnaire s'il reste toujours à la verticale d'un même point de la surface de la Terre.

2.2.2.a D'après la première loi de Kepler le plan de la trajectoire du satellite doit contenir le centre de la Terre. Donc seule la trajectoire de la figure 2 est incompatible avec les lois de la mécanique.

2.2.2.b Lorsque la terre tourne autour de son axe, le satellite de la figure 3 ne peut rester à la verticale d'un même point de la surface de la Terre. Donc seule la trajectoire de la figure 1 peut correspondre au satellite géostationnaire.

3.1. Première loi de Kepler :
Dans le référentiel centré sur l'astre attracteur la trajectoire du centre d'un satellite est une ellipse dont l'astre attracteur occupe l'un des foyers.

Troisième loi de Kepler :
Pour tous les satellites en orbite autour d'un même astre attracteur, le rapport entre le carré de la période de révolution et le cube du demi-grand axe est le même.

3.2.

D'après la loi des aires si le satellite passe de P à P' et de A à A' en une même durée alors S₁=S₂.
Or PT<AT donc PP'>AA' ce qui implique que la vitesse du satellite est plus grande près de P que près de A. La vitesse du satellite n'est donc pas constante.
3.4. D'après ce qui vient d'être dit, plus le satellite est proche de la Terre plus il va vite. Donc c'est en P que sa vitesse est maximale et en A que sa vitesse est minimale.

4.2. Par définition

Pour = 400 nm on a
Pour = 800 nm on a

Les limites demandées sont f₁ = 7,5 ´ 10¹⁴ Hz et f₂ = 3,8 ´ 10¹⁴ Hz

4.3. On doit préciser "dans le vide" pour donner des valeurs de longueur d'onde car la longueur d'onde change lorsque l'onde ne se propage plus dans le vide (seule la fréquence de l'onde est conservée lors d'un changement de milieu).