Bac S Blanc Mathématiques 2002 : Fonction exponentielle

On considère la fonction définie sur R par .

On note la courbe représentative de dans un repère orthonormal .
(Unité graphique 2 cm)

1)
    a) Déterminer les limites de en et en .
    b) Montrer que la droite d'équation est asymptote à .
        Etudier la position de par rapport à .

2) Montrer que est dérivable sur R et calculer .

3) Soit la fonction définie sur R par .
    a) Etudier le sens de variation de .
    b) Montrer que l'équation possède une solution unique dans l'intervalle .
        Déterminer une valeur décimale approchée par excès de à près.
    c) Déterminer le signe de suivant les valeurs de x.

4) Etudier le sens de variation de puis dresser son tableau de variation.

Dans le plan muni d'un repère orthonormal , on considère la courbe d'équation et la droite d'équation . Les courbes et sont tracées ci-dessous :

1) Soit un réel ; on désigne par le point de d'abscisse .
   La tangente à au point coupe l'axe des ordonnées au point .
   Déterminer les coordonnées du point .

2) On désigne par le point de d'abscisse et par l'isobarycentre des points , , et . Le point est donc le barycentre des points pondérés , , et .
    a) Placer les points , et puis construire, en justifiant, le point sur la feuille annexe.
    b) Déterminer en fonction de les coordonnées du point .

3) Quel est l'ensemble des points , quand décrit R ?

1) Construire la courbe de la partie A sur la feuille annexe à votre sujet.

2) Calculer l'aire , en cm², du domaine plan délimité par la courbe , la droite et les
    droites d'équation et (on pourra utiliser une intégration par parties).