Bac S Blanc Mathématiques 1998 : Fonction logarithme
Le corrigé1998 - Bac S - Mathématiques - Problème |
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I - INTERET DU PROBLEME
Mettre les études de fonctions au service des problèmes de minoration.
II - DEVELOPPEMENT
A. 1.
2. h est donc croissante et h(0)=0.
Donc h(x) 
0 pour tout x 
0, c'est à dire : 
3.
f(0) = 0 = g(0)
f'(0) = 1 =g'(0)
Les 2 courbes admettent donc une même tangente à l'origine : la première bissectrice.
B. 1. f1(x) = ln(1 + x) - x
2.
3. f1 décroît et f1(0) = 0.
4.
5.
D'où le tableau de variations :
6. 
.
fk(o) = 0 et f k est croissante strictement sur [0 ; 
]. Donc pour tout x élément de ]0 ; 
], on a : fk(x) > 0.
Donc un tel k ne vérifie pas :
Les valeurs de k strictement positives cherchées sont donc celles de l'intervalle [1, +
[.
C. 1. On pose
Donc I = [(1 + x) ln(1 + x)]
- 
I = 2 ln2 - 1
= 1 - 2 ln3 + 2 ln2
Et en reportant dans K :
K = 2 ln2 - 1 - 2(1 - 2 ln3 + 2 ln2)
K = 4 ln3 - 2 ln2 - 3
J représente l'aire comprise entre C, D, l'origine et la droite verticale d'équation x = 1
K représente l'aire comprise entre C, 
, l'origine et la même droite verticale.
2.
a) La fonction u est continue sur ] 0,1 ] comme quotient de 2 fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas. De plus on sait que
donc u est également continue en O. Donc u est bien continue sur [ 0,1 ].
b) L'inégalité (1) peut s'écrire : 
pour tout x > 0, ou encore : 
pour tout x > 0.
Cette inégalité reste valable pour x = 0 (car 0 inférieur ou égal à 1).
L'inégalité (2) peut s'écrire : 
pour tout x > 0.
ou encore 
pour tout x > 0.
Cette inégalité reste valable pour x = 0.
Donc pour tout 
, on a : 
En intégrant cet encadrement entre 0 et 1 (bornes dans le sens croissant), on a :
c'est-à-dire
Donc L = 0,9 à 10-1 près.
III - COMMENTAIRE MATHEMATIQUE
La conclusion du B pouvait être facilement obtenue en observant la courbe C :
- concavité tournée vers le bas,
- tangente en O d'équation y = x.
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