Annales gratuites Brevet Série Collège : A la boulangerie

12 points

Exercice 1 :
On donne :
, , .

1. Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
2. Ecrire B sous la forme  où a est un entier relatif et b un entier naturel le plus petit possible.
3. Calculer C et donner son écriture scientifique.

Exercice 2 :
On considère l'expression :
E = (3x + 2)² — (5 — 2x)(3x + 2).

1. Développer et réduire l'expression E.
2. Factoriser E.
3. Calculer la valeur de E pour x = —2.
4. Résoudre l'équation (3x + 2)(5x — 3) = 0.
Les solutions de cette équation sont-elles des nombres décimaux ?

Exercice 3 :
On considère le système suivant :

1. Le couple (x = 2 ; y = 0,5) est-il solution de ce système ?
2. Résoudre le système d'équations.
3. A la boulangerie, Anatole achète 2 croissants et 3 pains au chocolat : il paie 5,50 €. Béatrice achète 3 croissants et 1 pain au chocolat et paie 4,05 €.
Quel est le prix d'un croissant ? Quel est le prix d'un pain au chocolat ?

I - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Fractions
● Décimaux
● Radicaux
● Ecriture scientifique
● Développement
● Factorisation
● Equation
● Système d'équation

II - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Bien appliquer les règles de calcul avec les fractions et les radicaux.
● Savoir développer et factoriser.

III - LES DIFFICULTES RENCONTREES

Il fallait faire le lien entre la résolution du système et le problème proposé.

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Activités numériques

Exercice 1 :
1.

Or :

2.

 car

3.

Exercice 2 :
E = (3x + 2)² — (5 — 2x)(3x + 2)

1.
Développons E.

E = 9x² + 12x + 4—(15x + 10 — 6x² — 4x)

E = 9x² + 12x + 4 — (—6x² + 11x + 10)

E = 9x² + 12x + 4 + 6x² — 11x — 10

E = 15x² + x — 6

2.
Factorisons E.

(3x + 2) est un facteur commun.

E = (3x + 2)[(3x + 2) — (5 — 2x)]

E = (3x + 2)(3x + 2 — 5 + 2x)

E = (3x + 2)(5x — 3)

3.
Pour avoir la valeur de E pour x = —2, il faut remplacer x par —2 dans E = 15x²+x—6.

On obtient alors :

E = 15(—2)² — 2 — 6

E = 15 × 4 — 8

E = 60 — 8

D'où E = 52

4.
Résoudre l'équation (3x + 2)(5x — 3) = 0.

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

On a alors :

3x + 2 = 0 ou 5x — 3 = 0

3x = —2  ou 5x = 3

Les solutions de cette équation sont :

 est un nombre décimal.

 n'est pas un nombre décimal mais un nombre rationnel car la division de 2 par 3

donne un nombre avec une partie décimale périodique illimitée.

Exercice 3 :
1.
Considérons le système suivant :

Un couple (x ; y) est solution d'un système si ce couple vérifie simultanément les deux équations.

Vérifions si le couple (x = 2 ; y = 0,5) est solution du système.

Remplaçons x par 2 et y par 0,5 dans la première équation.

2(2) + 3(0,5) = 4 + 1,5 = 5,5

La première équation est vérifiée.

De même, remplaçons x par 2 et y par 0,5 dans la deuxième équation.

3(2) + 0,5 = 6,5

La deuxième équation n'est pas vérifiée.

Donc le couple (2 ; 0,5) n'est pas solution du système proposé.

2.

Multiplions les 2 membres de l'équation (2) par (—3) puis effectuons une addition membre à membre des 2 égalités pour éliminer y.

On obtient :

Par addition membre à membre, on obtient : —7x = —6,65

Donc :

Soit x = 0,95.

Remplaçons x par sa valeur dans l'équation (2) pour trouver y.

3x + y = 4,05

y = —3x + 4,05

y = —3 × 0,95 + 4,05

Soit y = 1,2.

Le système admet donc pour solution le couple (x ; y) = (0,95 ; 1,2).

3.
Soit x le prix du croissant et y le prix d'un pain au chocolat :

Le prix payé par Anatole pour 2 croissants et 3 pains au chocolat se traduit par :
et le prix de 3 croissants et 1 pain au chocolat par :

On obtient donc le système suivant :

On en déduit d'après les résultats obtenus en 2. que le prix d'un croissant est de 0,95 € et le prix d'un pain au chocolat de 1,20 €