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Annales gratuites Brevet Série Collège : Aire de triangles

Le sujet  2006 - Brevet Série Collège - Mathématiques - Problème Imprimer le sujet
Avis du professeur :

Le sujet porte sur l'aire et les fonctions.
Il était facile si vous saviez représenter fonction affine et une fonction linéaire.

LE SUJET


12 Points

La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur
On ne demande pas de refaire cette figure.

ABCD est un rectangle tel que AB = 6 cm et BC = 10 cm.
F est un point du segment [AD].
E est le point de la demi-droite [AB) n'appartenant pas au segment [AB] tel que BE = DF.

Partie 1

On suppose dans cette partie que BE = DF = 5 cm.
1. Calculer les longueurs AE et AF.
2. Calculer l'aire du triangle BEC.
3. Calculer l'aire du triangle CDF puis l'aire du quadrilatère ABCF.

Partie 2

Dans cette partie, on a : BE = DF = x
1. Démontrer que l'aire du triangle BEC est égale à 5x.
2. Exprimer l'aire du triangle CDF en fonction de x et démontrer que l'aire du quadrilatère ABCF est égale à 60 — 3x
3. On considère la fonction f définie par :

Tracer la représentation graphique de la fonction f dans le repère orthogonal donné en annexe, à rendre avec la copie.
4. On considère la fonction g définie par :

a. Calculer g(0) et g(10).
b. Tracer la représentation graphique de la fonction g dans le repère donné en annexe.
5. Par lecture graphique, déterminer la valeur de x pour laquelle l'aire du triangle BEC et l'aire du quadrilatère ABCF sont égales. Faire apparaître le trait justificatif.
6. Retrouver la réponse de la question précédente en écrivant puis en résolvant une équation.
7. Pour la valeur de x trouvée, calculer l'aire du triangle BEC et celle du quadrilatère ABCF.

LE CORRIGÉ


I - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Triangle rectangle
● Aire
● Fonction affine
● Fonction linéaire

 

II - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Résolution graphique et résolution algébrique d'équation
● Représentation graphique des fonctions affines et linéaires

 

III - LES DIFFICULTES RENCONTREES

Ne pas oublier de justifier les égalités par le fait que des points sont alignés.

 

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Partie 1

1. On a BE = DF = 5
On sait que A, F, D sont alignés et F est sur [AD]

Donc AD = AF + FD
d'où 10 = AF + 5

et donc AF = 5

De même A, B, E sont alignés.
donc AE = AB + BE
AE = 6 + 5

AE = 11

2. Comme ABCD est un rectangle et que A, B, E sont alignés
alors
et donc (B, C, E) est un triangle rectangle en B

et donc

Aire BEC = 25 cm²

3. De même CDF est un triangle rectangle en D et donc

Aire CDF = 15 cm²

Aire ABCF = Aire ABCD — Aire CDF
Aire ABCF = 6 × 10 — 15
Aire ABCF = 60 — 15 = 45

Aire ABCF = 45 cm²

Partie 2

1. On a BE = DF = x
De la même manière on a :

Aire BEC = 5x

2.

Aire CDF = 3x

Donc Aire ABCF = 60 — 3x

3. voir graphique ci-dessous

4.
a. g(x) = —3x + 60
donc si x = 0 on a g(0) = —3 × 0 + 60
g(0) = 60
et si x = 10, g(10) = —3 × 10 + 60
g(10) = —30 + 60

g(10) = 30

b. voir graphique ci-dessous

5. voir graphique ci-dessous

6. Aire ABCF = Aire BEC si et seulement si —3x + 60 = 5x
d'où 8x = 60

7. Pour x = 7,5

Aire BEC = 5 × 7,5 = 37,5

De même pour Aire ABCF.



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