Le sujet 2006 - Brevet Série Collège - Mathématiques - Problème |
Avis du professeur :
Le sujet porte sur l'aire et les fonctions. |
12 Points
La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur
On ne demande pas de refaire cette figure.
ABCD est un rectangle tel que AB = 6 cm et BC = 10 cm.
F est un point du segment [AD].
E est le point de la demi-droite [AB) n'appartenant pas au segment [AB] tel que
BE = DF.
Partie 1
On suppose dans cette partie que BE = DF = 5 cm.
1. Calculer les longueurs AE et AF.
2. Calculer l'aire du triangle BEC.
3. Calculer l'aire du triangle CDF puis l'aire du quadrilatère ABCF.
Partie 2
Dans cette partie, on a : BE = DF = x
1. Démontrer que l'aire du triangle BEC est égale à 5x.
2. Exprimer l'aire du triangle CDF en fonction de x et démontrer
que l'aire du quadrilatère ABCF est égale à 60 — 3x
3. On considère la fonction f définie par :
Tracer la représentation graphique de la fonction f
dans le repère orthogonal donné en annexe, à rendre avec la copie.
4. On considère la fonction g définie par :
a. Calculer g(0) et g(10).
b. Tracer la représentation graphique de la fonction g dans le
repère donné en annexe.
5. Par lecture graphique, déterminer la valeur de x pour laquelle
l'aire du triangle BEC et l'aire du quadrilatère ABCF sont égales. Faire
apparaître le trait justificatif.
6. Retrouver la réponse de la question précédente en écrivant puis en
résolvant une équation.
7. Pour la valeur de x trouvée, calculer l'aire du triangle BEC
et celle du quadrilatère ABCF.
I - LES NOTIONS DU PROGRAMME
● Triangle rectangle
● Aire
● Fonction affine
● Fonction linéaire
II - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE
● Résolution graphique et
résolution algébrique d'équation
● Représentation graphique des fonctions affines et linéaires
III - LES DIFFICULTES RENCONTREES
Ne pas oublier de justifier les égalités par le fait que des points sont alignés.
IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES
Partie 1
1. On a BE = DF = 5
On sait que A, F, D sont alignés et F est sur [AD]
Donc AD = AF + FD
d'où 10 = AF + 5
et donc AF = 5
De même A, B, E sont alignés.
donc AE = AB + BE
AE = 6 + 5
AE = 11
2. Comme ABCD est un rectangle et que A, B, E sont
alignés
alors
et donc (B, C, E) est un triangle rectangle en B
et donc
Aire BEC = 25 cm²
3. De même CDF est un triangle rectangle en D et donc
Aire CDF = 15 cm²
Aire ABCF = Aire ABCD — Aire CDF
Aire ABCF = 6 × 10 — 15
Aire ABCF = 60 — 15 = 45
Aire ABCF = 45 cm²
Partie 2
1. On a BE = DF = x
De la même manière on a :
Aire BEC = 5x
2.
Aire CDF = 3x
Donc Aire ABCF = 60 — 3x
3. voir graphique ci-dessous
4.
a. g(x) = —3x + 60
donc si x = 0 on a g(0) = —3 × 0 + 60
g(0) = 60
et si x = 10, g(10) = —3 × 10 + 60
g(10) = —30 + 60
g(10) = 30
b. voir graphique ci-dessous
5. voir graphique ci-dessous
6. Aire ABCF = Aire BEC si et seulement si —3x
+ 60 = 5x
d'où 8x = 60
7. Pour x = 7,5
Aire BEC = 5 × 7,5 = 37,5
De même pour Aire ABCF.