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Annales gratuites Brevet Série Collège : Aire maximale d'un rectangle

Le sujet  2009 - Brevet Série Collège - Mathématiques - Problème Imprimer le sujet
Avis du professeur :

Le sujet est assez classique, il nécessite une bonne connaissance et une bonne pratique de la propriété de Thalès.
La partie lecture graphique est très abordable.
La dernière partie peut engendrer quelques difficultés pour bien suivre la démarche proposée pour déterminer l'aire maximale.
LE SUJET


(12 points)

On considère un triangle ABC tel que : AB = 17,5 cm ; BC = 14 cm ; AC = 10,5 cm.

Partie 1

1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C.

2. Soit P un point du segment [BC].
La parallèle à la droite (AC) passant par P coupe le segment [AB] en R.
La parallèle à la droite (BC) passant par R coupe le segment [AC] en S.
Montrer que le quadrilatère PRSC est un rectangle.

3. Dans cette question, on suppose que le point P est situé à 5 cm du point B.
a. Calculer la longueur PR.
b. Calculer l'aire du rectangle PRSC.

Partie 2

On déplace le point P sur le segment [BC] et on souhaite savoir quelle est la position du point P pour laquelle l'aire du rectangle PRSC est maximale.

1. L'utilisation d'un tableur a conduit au tableau de valeurs suivant :

Longueur BP en cm

0

1

3

5

8

10

12

14

Aire de PRSC en cm2

0

9,75

24,75


36


18

0

Indiquer sur la copie les deux valeurs manquantes du tableau.
Justifier par un calcul la valeur trouvée pour BP = 10 cm.

2. Un logiciel a permis d'obtenir la représentation graphique suivante :

Aire du rectangle PRSC en fonction de la longueur BP

A l'aide d'une lecture graphique, donner :
a. Les valeurs de BP pour lesquelles le rectangle PRSC a une aire de 18 cm2.
b. La valeur de BP pour laquelle l'aire du rectangle semble maximale.
c. Un encadrement à 1 cm2 près de l'aire maximale du rectangle PRSC.

Partie 3

1. Exprimer PC en fonction de BP.

2. Démontrer que PR est égale à 0,75 × BP.

3. Pour quelle valeur de BP le rectangle PRSC est-il un carré ?


LE CORRIGÉ


I - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Propriété de Thalès
Aire d’un rectangle
Lecture graphique

II - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

Bien savoir repérer une configuration de Thalès et écrire les égalités correspondantes.

III - LES DIFFICULTES RENCONTREES

Ne pas se perdre dans les méandres de la dernière question.

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Partie 1 

1. Démontrons que le triangle ABC vérifie la réciproque du théorème de Pythagore.

On a :
AB² = 17,5² = 306,25
BC² = 14² = 196
AC² = 10,5² = 110,25

On constate que l’on a AB² = BC² + AC²

On en conclut que le triangle ABC est rectangle en C.

2. La droite (PR) est parallèle à la droite (AC).
La droite (RS) est parallèle à la droite (BC).
Donc le quadrilatère PRSC est un parallélogramme.

Il a un angle droit ACB
Donc c’est un rectangle.

3. a. La droite (PR) est parallèle à la droite (AC), les droites (AB) et (BC) sont sécantes en B, donc d’après la propriété de Thalès on a :

Et donc :

b. L’aire du rectangle est égale à longueur × largeur, soit ici :

Aire = PC × PR = (BC — BP ) × PR = (14 — 5) × 3,75 = 9 × 3,75 = 33,75 cm²


Partie 2

1.

Longueur BP en cm

0

1

3

5

8

10

12

14

Aire de PRSC en cm2

0

9,75

24,75

33,75

36

30

18

0

Pour BP = 10 cm, on a

d'où PR = 7,5 et l'aire de PRSC est égale à 7,5 × 4 = 30 cm2.

2.
a.
Par lecture graphique on trouve 2 et 12.
b. Par lecture graphique on trouve 7.
c. Par lecture graphique on trouve entre 36 et 37.


Partie 3

1. Les points B, P et C sont alignés et P appartient au segment [BC], on a donc :

BP + PC = BC
Et donc PC = 14 — BP

2. D’après la propriété de Thalès on a :

et donc :

D’où PR = 0,75 BP

3. Le quadrilatère PRSC est un carré si longueur égale largeur soit ici :

PR = PC

Soit si : 0,75 BP = 14 — BP

D’où 1,75 BP = 14

Et donc BP = 14 / 1,75 
            BP = 8 cm


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