Annales gratuites Brevet Série Collège : Balise

1. Prouver que les droites (OU) et (AI) sont parallèles.
2. Calculer la longueur OU.
3. Prouver que le triangle AMI est un triangle rectangle.
4. Déterminer, à un degré près, la mesure de l'angle .
5. Montrer que les angles et ont la même mesure.

Sur la figure annexe que vous devrez rendre avec la copie, on considère la figure F.

1. Construire :
a) la figure F₁, image de la figure F par la symétrie centrale de centre B (nommer E l'image de A).
b) la figure F₂, image de la figure F₁ par la symétrie centrale de centre C (nommer T l'image de E).
On hachurera, sur le dessin, les figures F₁ et F₂ ainsi obtenues.
2. Quelle transformation permet de passer directement de la figure F à F₂ ?

La balise ci-contre est formée d'une demi-boule surmontée d'un cône de révolution de sommet A.
Le segment [BC] est un diamètre de la base du cône et le point O est le centre de cette base.
On donne AO = BC = 6 dm.

1. Montrer que : .
2. Dans cette question, on se propose de calculer des volumes.
a) Calculer en fonction de p le volume du cône (on donnera la valeur exacte de ce volume)
b) Calculer en fonction de p le volume de la demi-boule (on donnera la valeur exacte de ce volume).
c) Calculer la valeur exacte du volume de la balise, puis en donner la valeur arrondie à 0,1 dm³ près.
On rappelle que si V est le volume d'une boule de rayon R, .
On rappelle que si V est le volume d'un cône de hauteur h et de rayon r, .

1.
On a MO = 21, MA = 27, MU = 28, MI = 36, AI = 45

donc d'après la réciproque de la propriété de Thalès, on a (UO)//(AI).

2.
D'après la propriété de Thalès, comme (UO)//(AI) alors on a :

3. On a
AM² = 27² = 729
MI² = 36² = 1296
AI² = 45² = 2025
On remarque 1296 + 729 = 2025
et donc AM² + MI² = AI²
donc d'après la réciproque de la propriété de Pythagore, le triangle AMI est rectangle en M.

4. On a

d'où à 1 degré près par excès.

5. Comme les droites (OU) et (AI) sont parallèles, les angles sont des angles alternes-internes, ils sont donc égaux.

1.
On a AO = BC = 6dm.
On sait que (AO) est perpendiculaire à (BC), donc le triangle AOB est rectangle en O et donc d'après la propriété de Pythagore on a :
AB² = OB² + AO²
AB² = 3² + 6²
AB² = 9 + 36
AB² = 45

2.
a)

b)

c)

soit 56,5 dm³ à 0,1 dm³ près.