Le sujet 2005 - Brevet Série Collège - Mathématiques - Problème |
On dispose d'un séjour rectangulaire dans lequel on veut réaliser un petit cagibi triangulaire. Pour cela, on veut installer une cloison.
Voici ci-dessus, une représentation de la pièce.
La partie (2) est le cagibi et la partie (1) représente le séjour après la création du cagibi. La cloison a été dessinée en pointillés.
Dans l'exercice, on considérera que la cloison a une épaisseur nulle.
Les trois parties sont indépendantes.
PARTIE 1 (3 Points)
On considère que x = 3 m.
1. Quelle est la longueur de la cloison (en pointillé) ?
2. Calculer la valeur (à 1° près) de l'angle ?
3. Calculer la valeur (à 1° près) de l'angle ?
PARTIE 2 (6 Points)
1.
a. Exprimer la surface au sol du cagibi (2) en fonction de x, sous la forme f(x) = ...
b. Exprimer la surface au sol du séjour (1) en fonction de x, sous la forme g(x) = ...
2. On admet que et que .
a. Quelle est la nature de la fonction f ? Quelle est la nature de la fonction g ?
b. Tracer dans un repère (abscisse : 1 cm pour 0,5 unités et en ordonnées, 1 cm pour 5 unités) les représentations graphiques des fonctions f et g pour x compris entre 0 et 10.
3. On veut que le séjour (1) ait une surface minimale de 35 m².
a. Lire sur le graphique la valeur maximale de x pour que cette condition soit respectée.
b. Ecrire une inéquation qui traduise que la surface du séjour doit être supérieure ou égale à 35 m².
c. Résoudre cette inéquation.
PARTIE 3 (3 Points)
On réalise une maquette de cette pièce, avant la création du cagibi, à l'échelle 1/200.
1. Rappeler ce que signifie "échelle 1/200" ?
2. Quelle sera, sur la maquette, la longueur du mur de 12 m ?
3. La surface réelle du séjour est de 48 m². Quelle est la surface du sol du séjour dans la maquette (en cm²) ?
4. Le volume du séjour de la maquette est de 13,125 cm3. Quel est le volume réel du séjour (en cm3 puis en m3) ?
PARTIE 1
1.
Le triangle HCD est rectangle en C donc d'après la propriété de Pythagore, on a :La cloison mesure 5 m.
2. On a , d'où à 1° près par excès.
3. et sont complémentaires donc à 1° près.
et sont supplémentaires donc à 1° près.
PARTIE 2
1.
a. , d'où ()
b.
2.
a. La fonction f est une fonction linéaire.
La fonction g est une fonction affine.
b. Voir graphique ci dessous.
3.
a. Par lecture graphique, on a 6,5 m comme valeur maximale pour x.
b. On doit avoir .
c. On résout :
PARTIE 3
1. A l'échelle 1/200, 1 cm représente 200 cm, soit 2 m.
2. Donc sur la maquette, le mur de 12 m sera représenté par 6 cm.
3. On peut en déduire que le mur de 4 m sera représenté par 2 cm, et donc la surface au sol du séjour dans la maquette sera de .
4. Volume du séjour de la maquette = 13,125 cm3.
Or, , donc :
soit 105 m3.