Le sujet 2006 - Brevet Série Collège - Mathématiques - Travaux géométriques |
Avis du professeur :
Le sujet porte sur les activités géométriques. |
12 points
Exercice 1
1. Placer les points A(—3 ; 1), B(—1,5 ; 2,5) et C(3 ;
—2) dans le repère orthonormé (O, I, J) de l'annexe 1
ci-jointe.
2. Montrer que.
3. Sachant que et, démontrer
que ABC est un triangle rectangle.
4. Placer le point D image de C par la translation de vecteur .
5. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier votre réponse.
Exercice 2
Soit un cercle de centre O et de diamètre [ST] tel que ST = 7 cm. Soit U un point de ce cercle tel que SU = 3 cm.
1. Faire une figure.
2. Démontrer que STU est un triangle rectangle en U.
3. Donner la valeur arrondie au dixième de l'angle.
4. En déduire une valeur approchée au dixième de.
Justifier votre réponse.
Exercice 3
Sur la figure ci-dessous les mesures ne sont pas respectées.
On a cm, cm, CO = 3 cm, est
un angle droit et.
1. Montrer que OB = 9 cm.
2. Montrer que les droites (CD) et (AB) sont parallèles.
Annexe 1
I - LES NOTIONS DU PROGRAMME
● Triangle rectangle
● Repère orthonormé
● Propriété de Thalès
II - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE
● Propriété de Pythagore
● Trigonométrie
III - LES DIFFICULTES RENCONTREES
Connaître la propriété de l'angle au centre.
IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES
Exercice 1 :
1. Voir graphique ci-dessous.
2. On sait que
Soit ici :
3. On a :
et donc AC2 = 45
et donc AB2 = 4,5
et donc BC2 = 40,5
On constate que l'on a AC2 = AB2 + BC2
On en
déduit, d'après la réciproque de la propriété de Pythagore, que
le triangle ABC est rectangle en B.
4. Voir graphique ci-dessus.
5. Puisque D est l'image de C dans
la translation de vecteur on a
On en déduit que le quadrilatère (ABCD)
est un parallélogramme.
Comme de plus on a montré que l'angle est un angle droit on sait que ABCD est un rectangle.
Exercice
2 :
1. Voir figure ci-dessous
2. Le triangle est inscrit dans un demi-cercle, c'est donc un triangle rectangle en U.
3. Utilisons le sinus de l'angle
on a
En utilisant la touche sin-1 de la calculatrice, il vient :
= 25,4 degrés à 10-1 près
Les angles et interceptent le même arc .
Donc l'angle au centre est le double de l'angle .
On a donc : = 50,8
degrés à 10-1 près.
Exercice 3
1. On sait que est en angle droit donc le triangle AOB est un
triangle rectangle.
On aura donc:
tan =
soit encore tan 60° =
et finalement OB =
or
et donc OB =
OB = 9
2. On a OB = 9 et OC = 3
donc
de plus on a et
donc
et donc on a
Donc
d'après la réciproque de la propriété de Thalès on a (CD) // (AB)