Annales gratuites Brevet Série Collège : Droites parallèles

Exercice 1 :

Dans tout cet exercice, l'unité de longueur est le centimètre.
On considère la figure ci-dessous. Ses dimensions ne sont pas respectées et on ne demande pas de la représenter.
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Les points O, B, D sont alignés, ainsi que les points O, A, C.
On donne les mesures suivantes : OA = 8 ; OB = 6 ; OC = 10.

1. Calculer la longueur BD.
La démarche suivie sera expliquée sur la copie.

2. Dans les questions qui suivent, on suppose que est droit.
a. Calculer puis en déduire une valeur approchée arrondie au degré près de la mesure de l'angle .
b. Justifier que le triangle ODC est rectangle.
c. En utilisant le théorème de Pythagore, donner une valeur approchée, en cm, arrondie au dixième de la longueur CD (On pourra admettre que OD = 7,5).

On considère un repère orthonormal (O, I, J) (unité : le centimètre).

1. Placer les points A (-2 ; 3) et C (3 ; 2) dans le repère précédent.
2. Calculer les distances OA, OC et AC. On donnera les valeurs exactes de ces distances.
3. Montrer que le triangle OAC est un triangle rectangle isocèle en O.
4. Construire le point B tel que .
5. En déduire la nature du quadrilatère OABC.
6. Déterminer les coordonnées du point M, centre de symétrie du quadrilatère OABC.
 

1.
OA = 8
OB = 6
OC = 10

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles donc d'après la propriété de Thalès on a :

D'où
Et donc

Et comme les points O, B et D sont alignés, on a :
OD = OB + BD
D'où
BD = OD - OB
BD = 7,5 - 6
BD = 1,5

2.
a.


Et donc à 1° près.

b. On a (AB) // (DC)
Or (AB) ^ (OD)
Donc (DC) ^ (OD)
Et donc le triangle ODC est rectangle en D.

c. Selon le théorème de Pythagore, on a :
OD² + DC² = OC²
D'où
DC² = OC² - OD²
DC² = 10² - (7,5)²
DC² = 100 - 56,25
DC² = 43,75

DC = 6,6 cm à 10^-1 près.

1.

2.

3.
On a OA = OC donc le triangle OAC est isocèle.

De plus, on a :
OA² + OC² = AC²
13 + 13 = 26
Donc le triangle OAC est rectangle en O d'après la réciproque du théorème de Pythagore.

4.
voir figure ci-dessus.

5.
On a :

.

Donc le quadrilatère OABC est un parallélogramme qui a 2 côtés consécutifs égaux OA = OC et un angle droit donc c'est un carré.

6.
Le centre de symétrie est le point de concours des diagonales, c'est aussi le milieu de chacune d'elle.

Déterminons le milieu de [AC].

Soit le point .