Annales gratuites Brevet Série Collège : Héron d'Alexandrie

(12 points)
Exercice 1
L'unité de longueur est le centimètre.
ABC est un triangle tel que AB = 16 cm, AC = 14 cm et BC = 8 cm.

1.
a. Tracer en vraie grandeur le triangle ABC sur la copie.
b. Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier.

2. Le mathématicien Héron d'Alexandrie (1^er siècle), a trouvé une formule permettant de calculer l'aire d'un triangle : en notant a, b, c les longueurs des trois côtés et p son périmètre, l'aire du triangle est donnée par la formule :

Calculer à l'aide de cette formule l'aire du triangle ABC.
Donner le résultat arrondi au cm² près.

Exercice 2
Dans cet exercice, on étudie la figure ci-contre où :
● ABC est un triangle isocèle tel que AB = AC = 4 cm.
● E est le symétrique de B par rapport à A.

Partie 1 : On se place dans le cas particulier où la mesure est 43°.

1. Construire la figure en vraie grandeur.

2. Quelle est la nature du triangle BCE ? Justifier.

3. Prouver que l'angle mesure 86°.

Partie 2 : Dans cette partie, on se place dans le cas général où la mesure de n'est pas donnée.

Jean affirme que pour n'importe quelle valeur de

Jean a-t-il raison ? Faire apparaître sur la copie la démarche utilisée.

I - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Triangle rectangle et propriété de Pythagore.

II - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

Triangle et cercle : bien connaître la propriété du triangle rectangle inscriptible dans un demi-cercle.

III - LES DIFFICULTES RENCONTREES

Pour la dernière question il est nécessaire de connaître la propriété des angles qui interceptent une même corde.

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Activités géométriques :
Exercice 1

1.a. Voir figure dans l'exercice 2
b. Vérifions si le triangle vérifie la réciproque du théorème de Pythagore.
On a : AB² = 16² = 256
          AC² = 14² = 196
          BC² = 8² = 64
[AB] est le côté le plus long et pourrait donc seul être l’hypoténuse.

Donc le triangle ABC n’est pas rectangle.

2. Soit p le périmètre du triangle :
On a p = 16 + 14 + 8 = 38
Et donc p/2 = 19
D’après la formule de Héron on a :

Aire = 56 cm² arrondi à 1 cm² près

Exercice 2

Partie 1 :

1. Voir figure

2. E est le symétrique de B par rapport à A. Donc A, B, et E sont alignés et A est le milieu de [EB] et donc AE = AB
De plus AB = AC, donc AB = AC = AE
Donc le triangle EBC est un triangle rectangle en C.

3. Comme le triangle ABC est un triangle isocèle on a :
Et donc comme la somme des trois angles dans un triangle est égale à 180°, on a°:

Les points B, A et E sont alignés donc on a
Et donc les angles et sont supplémentaires.
D’où

Partie 2 :
La mesure de n’est pas donnée.
Le triangle EBC est un triangle rectangle, A est le milieu de son hypoténuse.
Donc les points E, B et C sont sur le cercle de centre A et de rayon AC.
Les angles interceptent dans ce cercle la même corde [BC]. Et comme est un angle au centre, on a
Et ce, quelle que soit la mesure de l’angle , strictement inférieur à 180° (condition simplement pour que la figure soit réalisable).