Le sujet 2006 - Brevet Série Collège - Mathématiques - Travaux géométriques |
Avis du professeur :
Le sujet porte sur des activités géométriques. |
12 points
Exercice 1 :
On considère un repère orthonormé (O, I, J). L'unité est le centimètre.
1. Dans ce repère, placer les points :
A (1 ; 2), B (—2 ; 1), C (—3 ; —2).
2. Calculer les distances AB et BC.
3. Calculer les coordonnées du vecteur.
4. Construire le point D, image du point A par la translation qui
transforme B en C.
5. Démontrer que le quadrilatère ABCD est un losange.
Exercice 2 :
Dans cet exercice, les réponses seront données sans justification.
ABCDEF est un hexagone régulier de centre O.
1. Quel est le symétrique du triangle OCD par rapport
au point O ?
2. Quel est le symétrique du triangle EFO par rapport à la droite
(EO) ?
3. Quelle est l'image du triangle OCD par la rotation de centre O,
d'angle 60° dans le sens des aiguilles d'une montre ?
Exercice 3 :
La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur.
On ne demande pas de la reproduire.
Les points A, C et E sont alignés, ainsi que les points B, C
et D.
Le triangle ABC est rectangle en B.
Les longueurs suivantes sont exprimées en centimètres.
BC = 12 ; CD = 9,6 ; DE = 4 ; CE = 10,4.
1. Montrer que le triangle CDE est rectangle en D.
2. En déduire que les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
3. Calculer la longueur AB.
I - LES NOTIONS DU PROGRAMME
● Repères et vecteurs
● Symétrie
● Propriété de Thalès
● Triangle rectangle
II - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE
● Bien observer la figure pour
déterminer les symétries demandées
● Propriétés de Thalès et Pythagore
III - LES DIFFICULTES RENCONTREES
Bien argumenter pour démontrer que les droites (DE) et (AB) sont parallèles.
IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES
Exercice 1 :
1.
2. On sait que :
Donc ici on a :
De même pour BC :
3.
On a :
Soit :
4. Voir graphique ci dessus
5. On sait que D est l'image du point A par la
translation de vecteur.
On a donc.
On peut en déduire que ABCD est un parallélogramme.
De plus, on sait que deux de ses côtés consécutifs AB et BC sont égaux (à d'après la question 2.) donc ABCD est un losange.
Exercice
2 :
1. Triangle OFA
2. Triangle EOD
3. Triangle EOD
Exercice
3 :
1. Dans le
triangle CDE on a :
CD = 9,6 d'où CD2 = 92,16
DE = 4 d'où DE2 = 16
CE = 10,4 d'où CE2 = 108,16.
On constate que :
92,16 + 16 = 108,16
Et donc CD2 + DE2 = CE2.
D'où d'après la réciproque de la propriété de
Pythagore :
CDE est un triangle rectangle en D.
2. Si CDE est
rectangle en D, on a alors (DE) perpendiculaire à (CD).
Or B, C et D sont alignés donc (DE) est perpendiculaire à (BC).
Or on sait que le triangle ABC est rectangle en B et donc (AB) est perpendiculaire
à (BC).
Comme deux droites perpendiculaires à une même troisième droite sont
parallèles, on aura :
(DE) parallèle à (AB).
3. Comme (DE)
est parallèle à (AB), on peut utiliser la propriété de Thalès et on aura :
D'où :
AB = 5
cm