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Annales gratuites Brevet Série Collège : Parallèlépipède

Le sujet  2005 - Brevet Série Collège - Mathématiques - Travaux géométriques Imprimer le sujet
LE SUJET


Exercice 1 (5 points)

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. On donne AE = 3 m ; AD = 4 m ; AB = 6 m.

1.
a.
Que peut-on dire des droites (AE) et (AB) ? Le justifier.
b. Les droites (EH) et (AB) sont-elles sécantes ?

2.
a.
Calculer EG. On donnera la valeur exacte.
b. En considérant le triangle EGC rectangle en G, calculer la valeur exacte de la longueur de la diagonale [EC] de ce parallélépipède rectangle.

3. Montrer que le volume de ABCDEFGH est égal à 72 m3.

4. Montrer que l'aire totale de ABCDEFGH est égale à 108 m2.

Exercice 2 (3 points)

Sur le dessin ci-dessous, les droites (AB) et (CD) sont parallèles, les points A, C, O, E sont alignés ainsi que les points B, D, O et F. (On ne demande pas de faire le dessin).
De plus, on donne les longueurs suivantes :
CO = 3 cm, AO = 3,5 cm, OB = 4,9 cm, CD = 1,8 cm, OF = 2,8 cm et OE = 2 cm.

1. Calculer (en justifiant) OD et AB.
2. Prouver que les droites (EF) et (AB) sont parallèles.

Exercice 3 (4 points)

Soit ABC un triangle tel que AB = 4,2 cm, BC = 5,6 cm, AC = 7 cm.

1. Faire une figure en vraie grandeur.
2. Prouver que ABC est rectangle en B.
3. Calculer le périmètre et l'aire de ABC.
 

LE CORRIGÉ


Exercice 1 :

AE = 3 m
AD = 4 m
AB = 6 m

1. a. Les droites (AE) et (AB) sont perpendiculaires car ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle et EABF, face de ce parallélépipède, est un rectangle.

b. Les droites (EH) et (AB) ne sont pas sécantes.

2. a. Appliquons le théorème de Pythagore au triangle EHG. On a :
EG2 = EH2 + HG2
EG2 = 42 + 62
EG2 = 52 d'où EG =

b. Appliquons le théorème de Pythagore au triangle rectangle EGC. On a :
EC2 = CG2 + EG2
EC2 = 32 + 2
EC2 = 9 + 52
EC2 = 61 d'où EC =

3. Le volume de ABCDEFGH est égal à 4´ 3´ 6 soit 72 m3.

4. L'aire totale de ABCDEFGH est égale à 2(3´ 4 + 3´ 6 + 4´ 6), soit 108 m3.

Exercice 2 :

1. Appliquons le théorème de Thalès :

De même

2.

Comme alors, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (AB) sont parallèles.

Exercice 3 :
1.
Voir figure ci-dessous :


2.
AC2 = 49
AB2 + BC2 = 4,22 + 5,62 = 49
Comme AC2 = AB2 + BC2 alors, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

3. Le périmètre du triangle ABC est égal à 4,2 + 5,6 + 7, soit 16,8 cm
Son aire est égale à soit 11,76 cm2.
 

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