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Annales gratuites Brevet Série Collège : Patron de pyramide

Le sujet  2010 - Brevet Série Collège - Mathématiques - Travaux géométriques Imprimer le sujet
Avis du professeur :
De la géométrie plane avec des applications du théorème de Pythagore et de la géométrie dans l'espace pour déterminer le patron d'une pyramide.

Le sujet est très accessible.
LE SUJET

Exercice 1

Dans la figure ci-dessous :

- ABCD est un carré de côté 9 cm ;

- les segments de même longueur sont codés.

1) Faire une figure en vraie grandeur.

2) a. Calculer JK.

b. L’octogone IJKLMNOP est-il un octogone régulier ? Justifier votre réponse.

c. Calculer l’aire de l’octogone IJKLMNOP.

3) Les diagonales du carré ABCD se coupent en S.

a. Tracer sur la figure en vraie grandeur le cercle de centre S et de diamètre 9 cm.

b. Le disque de centre S et de diamètre 9 cm a-t-il une aire supérieure à l’aire de l’octogone ? Justifier la réponse. 

Exercice 2

SABC est une pyramide de base triangulaire ABC telle que :

AB = 2 cm ; AC = 4,8 cm ; BC = 5,2 cm.

La hauteur SA de cette pyramide est de 3 cm.

1) Dessiner en vraie grandeur le triangle ABC à partir des deux points B et C donnés sur l’annexe 1.

2) Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.

3) On veut construire un patron en vraie grandeur de la pyramide SABC.

Le début de ce patron est dessiné ci-dessous à main levée.

Compléter le dessin de la feuille annexe pour obtenir le patron complet, en vraie grandeur de la pyramide.

4) Calculer le volume de SABC en cm3.

On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par la formule :

est l’aire d’une base etla hauteur associée.



Annexe :

LE CORRIGÉ

Exercice 1 :

1° Il s’agissait ici de reproduire la figure de l’énoncé en lui appliquant les dimensions demandées.

Rappel de la figure pour mémoire :



2° a) Les points A, I, J, B sont tous situés sur le même côté du carré. Ils sont alignés.

Les segments de même longueur sont codés, on a donc :

AI = IJ = IB

Or AB = 9 cm

Donc JB = 3cm

Et donc BK = 3 cm

Comme ABCD est un carré alors le triangle JBK est un triangle rectangle en B et donc d’après le théorème de Pythagore on a :

JK² = JB² + BK²

Et donc JK² = 32 + 32 = 9 + 9 = 18

D’où JK = 18 = 32 cm

b) Un octogone est régulier si ses côtés sont égaux et s’il est inscriptible dans un cercle.

Les côtés successifs IJ et JK n’ont pas la même mesure donc l’octogone n’est pas régulier.

c) L’aire de l’octogone est égale à l’aire du carré ABCD diminuée de 4 fois l’aire d’un des triangles rectangles superposables au triangle JBK.

Le triangle JBK a une aire égale à :

Donc l’aire de l’octogone est égale à :

3° a) Voir figure ci-dessous :



b) Le disque a une aire égale à :

Or arrondi à 0,01 près

Donc le disque a une aire supérieure à celle de l’octogone.

Exercice 2 :

  1. Voir figure :



2) On a :

2² = 4

4,8² = 23,04

5,2²= 27,04

On constate que : 2² + 4,8² = 5,2²

On a donc AB² + AC² = BC²

Donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore on peut affirmer que le triangle ABC est un triangle rectangle en A.

3) Voir figure :



4) L’aire de la base est égale à :

Le volume de la pyramide est égal à :





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