Annales gratuites Brevet Série Collège : Pyramide

Exercice 1 :
La figure ci-dessous n'est pas réalisée en vraie grandeur, elle n'est pas à reproduire.

Les points A, C et F sont alignés, ainsi que les points B, C et G.
Les droites (AB) et (GF) sont parallèles.
AB = 3 cm
FC = 8,4 cm
FG = 11,2 cm

1. Calculer la longueur CA.
2. Soient D le point du segment [CF] et E le point du segment [GF] tels que :
FD = 6,3 cm et FE = 8,4 cm.
Montrer que les droites (GC) et (ED) sont parallèles.

Exercice 2 :
1. Construire un triangle ABC rectangle en C tel que AC = 5 cm et  = 40°.
2. Calculer la longueur BC. (On donnera une valeur arrondie au millimètre).
3.
a. Où se trouve le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC ? Justifier.
b. Tracer ce cercle.
4. En déduire la mesure de l'angle .

Exercice 3 :
Pour la pyramide SABCD ci-dessous :

La base est le rectangle ABCD de centre O.
AB = 3 cm et BD = 5 cm.
La hauteur [SO] mesure 6 cm.

1. Montrer que AD = 4 cm.
2. Calculer le volume de la pyramide SABCD en cm³.
3. Soit O' le milieu de [SO].On coupe la pyramide par un plan passant par O' et parallèle à sa base.
a. Quelle est la nature de la section A'B'C'D' obtenue ?
b. La pyramide SA'B'C'D' est une réduction de la pyramide SABCD. Donner le rapport de cette réduction.
c. Calculer le volume de la pyramide SA'B'C'D'.

I - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Propriété de Thalès
● Triangle rectangle
● Pyramide et proportionnalité

II - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Savoir utiliser la réciproque de la propriété de Thalès
● Bien choisir parmi sinus, cosinus et tangente, le mieux adapté pour résoudre le problème.
● Calculer un coefficient de réduction pour un volume.

III - LES DIFFICULTES RENCONTREES

Utiliser une bonne vision dans l'espace pour travailler dans le rectangle ABCD à l'exercice 3.

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Exercice 1 :
1.
On a (AB)//(GF) donc d'après la propriété de Thalès :

Or
AB = 3
or FC = 8,4
et FG = 11,2.
On a donc

d'où

AC = 2,25

2.
On a FD = 6,3 et FC = 8,4
donc

et EF = =8,4 et FG = 11,2
donc

En utilisant la calculatrice, on trouve tan 40° = 0,84 à 10^—2 près
donc BC = 5×0,84

BC = 4,2 cm arrondi au mm près

3.
a. Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse et donc ici O est le milieu de [AB].
b. voir dessin.

4. Les angles interceptent le même arc donc l'angle ou centre  est égal au double de l'angle ,

soit

Exercice 2 :
1.

2. Le triangle ABC est rectangle en C, on a donc :

3.
a. La section obtenue a la même forme que la base ABCD, c'est un rectangle.
b. On sait que O' est le milieu de [SO] et donc que

Exercice 3 :
1. Si ABCD est un rectangle alors ABD est un triangle rectangle en A donc d'après la propriété de Pythagore,
on a BD² = AD² + AB²
soit 25 = AD² + 9
et donc AD² = 25—9
AD² = 16
et donc AD = 4

2. On sait que

D'où ici

V = 24 cm³

Donc d'après la réciproque de la propriété de Thalès on a :

(GC)//(ED)

Chaque arête de la pyramide sera réduite de moitié.
Donc globalement la pyramide est réduite selon un rapport de, soit.

c. Donc V' le volume de la pyramide réduite sera :

Soit