Annales gratuites Brevet Série Collège : Pyramide

12 points

Sur la figure ci-dessous, SABCD est une pyramide à base carrée de hauteur [SA] telle que AB = 9 cm et SA = 12 cm. Le triangle SAB est rectangle en A.

Partie A :
EFGH est la section de la pyramide SABCD par le plan parallèle à la base et telle que SE = 3 cm.

1.
a. Calculer EF.
b. Calculer SB.
2.
a. Calculer le volume de la pyramide SABCD.
b. Donner le coefficient  de réduction permettant de passer de la pyramide SABCD à la pyramide SEFGH.
c. En déduire le volume de SEFGH. On donnera une valeur arrondie à l'unité.

Partie B :
Soit M un point de [SA] tel que SM = x cm, où x est compris entre 0 et 12.
On appelle MNPQ la section de la pyramide SABCD par le plan parallèle à la base passant par M.

1. Montrer que MN = 0,75 x.
2. Soit A(x) l'aire du carré MNPQ en fonction de x. Montrer que A(x) = 0,5625 x².
3. Compléter le tableau ci-dessous.
4. Placer dans le repère du papier millimétré de l'annexe 2 les points d'abscisse x et d'ordonnée A(x) données par le tableau.
5. L'aire de MNPQ est-elle proportionnelle à la longueur SM ? Justifier à l'aide du graphique.

Annexe 2

I - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Pyramide
● Propriété de Thalès
● Proportionnalité

II - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Coefficient de réduction d'une pyramide
● Utiliser la propriété de Thalès dans l'espace

III - LES DIFFICULTES RENCONTREES

Ne pas confondre fonction croissante et fonction de proportionnalité.

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Partie A

1.a. Comme EFGH est un plan parallèle à la base ABCD de la pyramide on aura (EF)//(AB) et donc d'après la propriété de Thalès :

EF = 2,25

1.b. Comme le triangle SAB est rectangle en A, d'après la propriété de Pythagore on a :
SA² + AB² = SB²
D' où SB² = 12² + 9²
SB² = 144 + 81
SB² = 225

SB = 15

2.a. On sait que :

D'où ici :

V = 324 cm³

2.b. On a vu que

Donc chaque arête de la pyramide est réduite au quart donc le coefficient de réduction permettant de passer de SABCD à SEFGH est égal à :

Soit

2.c. Soit V' le volume de SEFGH, on a
 et donc

Soit V' = 5 cm³ arrondi à l'unité.

Partie B

1. De même que précédemment on aura (MN)//(AB) et donc d'après la propriété de Thalès :

d'où

et donc

MN = 0,75x

2. MNPQ est un carré de côté MN = 0,75x.
Son aire est donc égale à
A(x) = MN² = (0,75x)²
A(x) = 0,5625x²

3.

4.

5. Si l'aire MNPQ était proportionnelle à SM, c'est à dire x, alors les points du tableau donnant A(x) en fonction de x devraient être alignés et la droite passer par l'origine du repère.
Or on constate sur le graphique que les points ne sont pas alignés (il suffit de tracer la droite passant par l'origine du repère et le dernier point trouvé).
Donc Aire MNPQ n'est pas proportionnelle à SM.