Annales gratuites Brevet Série Collège : Repères et translation

Toutes les réponses devront être justifiées.

(O, I, J) est un repère orthonormal où OI = OJ = 1 cm.

On effectuera le figure sur une feuille de papier millimétré.

1) Placer les points A (4, 2) et B (-2, -2).

Calculer les coordonnées du point M milieu du segment [OA].

2) Déterminer une équation de la droite (OA).

On appelle () la médiatrice du segment [OA].

Montrer que () a pour équation y = -2x + 5.

3) Tracer la droite (d₁) d'équation y = -x + 4.

On appelle (d₂) la droite parallèle à (d₁) qui passe par le point O.

Déterminer une équation de (d₂).

4) On appelle P le point d'intersection des droites () et (d₁).

Pourquoi a-t-on : PO = PA ?

5) Calculer les coordonnées du point P .

Quelle est la nature du triangle OAP ?

6) On appelle E l'image du point P par la translation de vecteur .

Placer le point E dans le repère.

Calculer les coordonnées de E.

Vérifier par le calcul que E est un point de (d₂).

7) Pourquoi a-t-on : BE = AP ?

1) A(4 ; 2) B( -2 ; -2)

M milieu de [OA] donc donc
Le point M a pour coordonnées (2 ; 1)

2) Equation de la droite (OA) ets du type y = ax car O est l'origine.
2 = 4a
d'où
on a donc
Comme () est la médiatrice de [OA], elle passe par le point M (2 ; 1) et elle est perpendiculaire à (OA).
Le coefficient directeur de () est (-2) car 1/2 ´ a = -1, donc a = -2.
On a donc y = -2x + b, comme () passe par M, on a :
1 = -2 ´ 2 + b
d'où b = 5

L'équation de () est : y = -2x + 5

3) (d₁) d'équation y = -x + 4
Voir figure en 1)
L'équation de (d₂) passant par O et parallèle à (d₁) est : y = -x

4) Comme le point P appartient à () , médiatrice de [OA] alors on a :
PO = PA.

5) Le point P est le point d'intersection de () et (d₁) .
Son abscisse est la solution de l'équation
-x + 4 = -2x + 5
-x + 2x = 5 - 4
x = 1
Son ordonnée est y = -2 ´ 1 + 5
soit y = 3
d'où P(1 ; 3)
Le triangle OAP est isocèle de sommet P car PO = PA.

6) On a
soit = (-2 ; -2)
(x_E - 1 ; y_E - 3) = (-2 ; -2)

Les coordonnées du point E sont (-1 ; 1)
L'équation de (d₂) est : y = -x
Comme les coordonnées du point E vérifient cette équation, alors E est un point de (d₂).

7) Comme alors le quadrilatère OBEP est un parallélogramme, donc BE = OP.
De plus OP = AP.
On en déduit que BE = AP.

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