Annales gratuites Brevet Série Collège : Sucettes et bonbons

12 points

Exercice 1 :
                    

1. Calculer A en détaillant les étapes du calcul. Donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
2. Ecrire B sous forme  où a est un nombre entier. Détailler les étapes du calcul.
3. Calculer C et donner son écriture scientifique en détaillant les étapes du calcul.

Exercice 2 :
Soit D = (2x + 3)² + (2x + 3)(7x — 2)

1. Développer et réduire D.
2. Factoriser D.
3. Calculer D pour x = —4.
4. Résoudre l'équation (2x + 3)(9x + 1) = 0

Exercice 3 :
Pierre a gagné 84 sucettes et 147 bonbons à un jeu. Etant très généreux, et ayant surtout très peur du dentiste, il décide de les partager avec des amis. Pour ne pas faire de jaloux, chacun doit avoir le même nombre de sucettes et le même nombre de bonbons.

1. Combien de personnes au maximum pourront bénéficier de ces friandises (Pierre étant inclus dans ces personnes !) ? Expliquer votre raisonnement.
2. Combien de sucettes et de bonbons aura alors chaque personne ?

Exercice 4 :
1. Résoudre le système suivant :

2. Une balade d'une heure en mer est proposée à deux groupes de touristes.
Le premier groupe, composé de 8 adultes et de 3 enfants, paie 39,50€. Le second, composé de 7 adultes et de 9 enfants, paie 50,50€.
Quel est donc le prix d'un ticket pour un adulte ? pour un enfant ?

I - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Fractions et radicaux
● Polynômes
● PGCD
● Système d'équations

II - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Calcul du PGCD
● Mise en équation d'un problème

III - LES DIFFICULTES RENCONTREES

Reconnaître le PGCD dans l'exercice 3.

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Exercice 1 :
1.

D'où

2.

On sait que 45 = 5 × 9 = 5 × 3²
et que 125 = 5 × 25 = 5 × 5²
On a donc :

3.

Soit

Exercice 2 :
Soit D = (2x + 3)² + (2x + 3)(7x — 2)

1. EN utilisant l'identité remarquable
(a + b)² = a² +2ab + b²
Il vient
D = 4x² + 12x + 9 + 14x² — 4x + 21x — 6

D = 18x² +29x +3

2. On remarque que (2x+3) est un facteur commun. On adonc
D = (2x + 3)[2x + 3 +7x — 2]

Et donc D = (2x + 3)(9x +1)

3. Remplaçons x par —4 dans l'expression factorisée de D.
On trouve
D = (—8 + 3)(—36 + 1)
D = (—5) ´ (—35)

D = 175

4. (2x + 3)(9x + 1) = 0
On sait qu'un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
D'où ici :
2x + 3 = 0
2x = — 3

Ou
9x + 1 = 0
9x = —1

Les solutions cherchées sont donc :

Exercice 3 :
1. Si chacun doit avoir le même nombre de sucettes et le même nombre de bonbons, le nombre de personnes est nécessairement un diviseur commun de 84 et 147. Si ce nombre est maximum il faut que ce soit le plus grand diviseur commun (PGCD) de 84 et 147.
Pour déterminer ce PGCD, utilisons l'algorithme d'Euclide.
On a  :
147 = 84 ´ 1 + 63
 84 = 63 ´ 1 + 21
 63 = 21 ´ 3
et donc PGCD (84 ; 147) = 21
21 personnes dont Pierre pourront se partager équitablement bonbons et sucettes.

2.
84 = 21 ´ 4
et
147 = 21 ´ 7
Chacune d'entre elles aura 4 sucettes et 7 bonbons.

Exercice 4 :
1. Résolvons le système

Multiplions la première équation par 3

Soustrayons les 2 équations
17x = 68
D'où

On aura donc en utilisant la première équation
32 + 3y = 39,5
3y = 7,5
y =2,5
Soit donc

2. Soit x le prix d'un ticket pour un adulte et y le prix pour un enfant.
On a donc
8x + 3y =39,50
et
7x + 9y = 50,50
Les solutions du problème sont les solutions du système que nous avons résolu à la question précédente. On aura donc :
prix adulte = 4€
prix enfant = 2,50€