Annales gratuites Brevet Série Collège : Terrasse rectangulaire

(12 points)

Dans le jardin de sa nouvelle maison, M. Durand a construit une terrasse rectangulaire qu'il désire recouvrir d'un toit.
Pour cela, il réalise le croquis suivant où l'unité de longueur est le mètre.

● Le sol ABCD et le toit EFGH sont des rectangles.
● Le triangle HIE est rectangle en I.
● Le quadrilatère IEAB est un rectangle.
● La hauteur du sol au sommet du toit est HB.

On donne : AB = 2,25 ; AD = 7,5 ; HB = 5

Partie I

On suppose dans cette partie que AE = 2.

1. Justifier que HI = 3.
2. Démontrer que HE = 3,75.
3. Calculer au degré près la mesure de l'angle  du toit avec la maison.

Partie II

Dans cette partie, on suppose que  = 45° et on désire déterminer AE.

1. Quelle est la nature du triangle HIE dans ce cas ? Justifier.
2. En déduire HI puis AE.

Partie III

Dans cette partie, on suppose que  = 60° et on désire déterminer AE.

1. Déterminer la valeur arrondie au cm de HI.
2. En déduire la valeur arrondie au cm de AE.

Partie IV

La courbe ci-dessous représente la hauteur AE en fonction de la mesure de l'angle .

M. Durand souhaite que la hauteur AE soit comprise entre 3 m et 3,5 m. En utilisant le graphique, donner une mesure possible de l'angle .

I - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Triangle rectangle
● Théorème de Pythagore
● Trigonométrie

II - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Sinus
● Tangente

III - LES DIFFICULTES RENCONTREES

Bien choisir entre sinus, cosinus et tangente.

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Partie I

1. I est sur [HB]
donc BH = BI + IH
d'où   HI = BH — IB
             = 5 — 2
             = 3

          HI = 3 

2. Le triangle (HIE) est rectangle en I donc d'après le théorème de Pythagore on a :
HE² = IE² + IH²

d'où HE² = (2,25)² + 3²
              = 5,0625 + 9
              = 14,0625

et donc

            HE = 3,75 

3. On a

donc

et donc IHE = 37°  à 1° près par excès 

Partie II

1. IHE est un triangle rectangle en I donc les angles  sont complémentaires et donc
Donc le triangle IHE est un triangle rectangle isocèle.

2. On sait que le quadrilatère AEIB est un rectangle
donc AB = IE = 2,25
et comme le triangle HIE est isocèle
on a HI = IE
d'où HI = 2,25

Et donc IB = 5 — 2,25
                = 2,75
Et comme IB = AE

on a  AE = 2,75 

Partie III
1. On a :

 HI = 1,30 m  au centimètre près.

2. Donc IB = 3,70 m au centimètre près, et donc  AE = 3,70 m  au centimètre près.

Partie IV

Selon le graphique, une mesure possible de IHE est 50°.