Le sujet 2007 - Brevet Série Collège - Mathématiques - Problème |
Avis du professeur :
Le sujet porte sur la trigonométrie et la lecture graphique
d'une fonction. |
(12 points)
Dans le jardin de sa nouvelle maison, M. Durand a construit
une terrasse rectangulaire qu'il désire recouvrir d'un toit.
Pour cela, il réalise le croquis suivant où l'unité de longueur est le mètre.
● Le sol ABCD et le
toit EFGH sont des rectangles.
● Le triangle HIE est rectangle en I.
● Le quadrilatère IEAB est un
rectangle.
● La hauteur du sol au sommet du toit
est HB.
On donne : AB = 2,25 ; AD = 7,5 ; HB = 5
Partie I
On suppose dans cette partie que AE = 2.
1. Justifier que HI = 3.
2. Démontrer que HE = 3,75.
3. Calculer au degré près la mesure de l'angle du
toit avec la maison.
Partie II
Dans cette partie, on suppose que = 45° et on désire déterminer AE.
1. Quelle est la nature du triangle HIE dans ce
cas ? Justifier.
2. En déduire HI puis AE.
Partie III
Dans cette partie, on suppose que = 60° et on désire déterminer AE.
1. Déterminer la valeur arrondie au cm de HI.
2. En déduire la valeur arrondie au cm de AE.
Partie IV
La courbe ci-dessous représente la hauteur AE en fonction de
la mesure de l'angle .
M. Durand souhaite que la hauteur AE soit comprise entre 3 m et 3,5 m. En utilisant le graphique, donner une mesure possible de l'angle .
I - LES NOTIONS DU PROGRAMME
● Triangle rectangle
● Théorème de Pythagore
● Trigonométrie
II - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE
● Sinus
● Tangente
III - LES DIFFICULTES RENCONTREES
Bien choisir entre sinus, cosinus et tangente.
IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES
Partie I
1. I est sur [HB]
donc BH = BI + IH
d'où HI = BH — IB
= 5 — 2
= 3
HI = 3
2. Le triangle (HIE) est rectangle en I donc d'après
le théorème de Pythagore on a :
HE2 = IE2 + IH2
d'où HE² = (2,25)2 + 32
= 5,0625 + 9
= 14,0625
et donc
HE = 3,75
3. On a
donc
et donc IHE = 37° à 1° près par excès
Partie II
1. IHE est un triangle rectangle en I donc les angles
sont complémentaires et donc
Donc le triangle IHE est un triangle rectangle isocèle.
2. On sait que le quadrilatère AEIB est un rectangle
donc AB = IE = 2,25
et comme le triangle HIE est isocèle
on a HI = IE
d'où HI = 2,25
Et donc IB = 5 — 2,25
= 2,75
Et comme IB = AE
on a AE = 2,75
Partie III
1. On a :
HI = 1,30 m au centimètre près.
2. Donc IB = 3,70 m au centimètre près, et donc AE = 3,70 m au centimètre près.
Partie IV
Selon le graphique, une mesure possible de IHE est 50°.