Annales gratuites Brevet Série Collège : Triangle et cercle

(12 points)

Exercice 1

L'unité de longueur est le centimètre.
ABC est un triangle tel que AB = 9 ; AC = 15 ; BC = 12.

1.
a) Démontrer que ABC est rectangle en B.
b) Tracer en vraie grandeur le triangle ABC sur la copie.

2. E est le point du segment [AB] tel que AE = 3.
    F est le point du segment [AC] tel que AF = 5.

a) Placer les points E et F sur la figure.
b) Démontrer que la droite (EF) est parallèle à la droite (BC).

3. Calculer l'aire du triangle AEF.

Exercice 2

Sur la figure ci-dessus,
● ABC est un triangle équilatéral,
● Le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC,
● Le point D est le point diamétralement opposé au point B sur ce cercle.

1. Quelle est la nature du triangle ABD ? Justifier.

2. Quelle est la mesure de l'angle  ? Justifier.

I - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Théorème de Pythagore ;
● Théorème de Thalès ;
● Triangle équilatéral ;
● Losange ;
● Triangle rectangle.

II - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Propriétés du centre du cercle circonscrit dans le triangle équilatéral.

III - LES DIFFICULTES RENCONTREES

● Dans l'exercice 1 :
Le calcul de l'aire nécessite un cheminement qui peut être plus ou moins long.

● Dans l'exercice 2 :
Chaque question nécessite des déductions successives appuyées sur de bonnes connaissances.

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Exercice 1

1.
a) On a AB = 9, AC = 15 et BC = 12
On constate que :
AB² = 81
AC² = 225
BC² = 144
Or 225 = 144 + 81
On a donc AC² = BC² + AB²
Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore on a ABC triangle rectangle en B.

b) Voir graphique.

2.
a) Voir figure.

b) E est sur [AB] et F est sur [AC]
On a AE = 3    AB = 9    AF = 5    AC = 15

et donc

d'où

donc d'après la réciproque du théorème de Thalès on a (EF) // (BC)

3. L'aire du triangle ABC est égale à (en cm²)

Le triangle AEF est une réduction du triangle ABC de coefficient 

Exercice 2

1. D est diamétralement opposé à B, A est sur le cercle, donc le triangle ABD est inscrit dans un demi-cercle et donc ABD est un triangle rectangle.

2. Dans le triangle ABC la droite (BD) passe par O qui est le centre du cercle circonscrit, donc la droite (BD) est une bissectrice de l'angle ABC.

Or  puisque ABC est équilatéral

donc

Dans le triangle ABD, les angles ABD et ADB sont complémentaires donc .

3. E est l'image de D dans la translation de vecteur  et donc (ODEC) est un parallélogramme.

De plus [OD] et [OC] sont des rayons du cercle donc OD = OC
donc (ODEC) est un parallélogramme qui a 2 côtés consécutifs égaux, c'est un losange.
Donc ses diagonales sont perpendiculaires et donc (OE) et (DC) sont perpendiculaires.