Annales gratuites Brevet Série Collège : Triangle isocèle

On considère un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 6 cm et AC = 4 cm.

1. Construire ce triangle.

2. Placer le point M sur le segment [AB] tel que : BM = 3,5 cm et tracer la droite passant par le point M et perpendiculaire à la droite (AB) ; elle coupe le segment [BC] en E.
a) Calculer AM
b) Démontrer que les droites (AC) et (ME) sont parallèles.
c) Calculer EM (on donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible).
d) Le triangle AEM est-il un triangle isocèle en M ?

On souhaite placer le point M sur le segment [AB] de façon à ce que le triangle AEM soit isocèle en M comme sur la figure ci-dessous que l'on ne demande pas de refaire.
On rappelle que : AB = 6 cm et AC = 4 cm.

1. On pose BM = x (on a donc : ). Démontrer, en utilisant la propriété de Thalès, que

2. Première résolution du problème posé.
a) Montrer que : MA = 6 - x
b) Calculer x pour que Ie triangle AME soit isocèle en M.

3. Soit un repère orthogonal avec pour unités 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.
a) Représenter, dans ce repère, les fonctions f et g définies par :
et g(x) = 6 - x, pour
b) En utilisant ce graphique, retrouver le résultat de la question 2.b).

1. AB = 6, AC = 4, BM = 3,5 (en cm).

2.
a) AM = AB - BM. D'où : AM = 2,5.

b) Comme (AC) est perpendiculaire à (AB) et que (ME) est perpendiculaire à (AB), alors (AC) est parallèle à (ME).
Car lorsque deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, elles sont parallèles entre elles.

c) D'après la propriété de Thalès, .
,
,
.

d) Comme EM ¹  AM, alors le triangle AEM n'est pas isocèle en M.

1. D'après la propriété de Thalès, on a : .
,
.
D'où : .

2.
a) MA = AB - MB.
D'où : MA = 6 - x.

b) Pour que le triangle AME soit isocèle en M, il faut que : ME = MA.
Soit : ,
,
,
,
.
Soit : x = 3,6 cm.

3.
a) .

.

b) ME = MA équivaut à f(x) = g(x).
L'abscisse du point commun aux deux droites représentant les fonctions affines f et g est égal à 3,6.