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Annales gratuites Brevet Série Collège : Triangle rectangle

Le sujet  2006 - Brevet Série Collège - Mathématiques - Travaux géométriques Imprimer le sujet
Avis du professeur :

Le sujet porte sur des activités géométriques.
L'exercice n°1 mobilise beaucoup de vos connaissances. L'exercice n°2 est lui aussi assez délicat avec son alternance de lecture graphique et de démonstration.

LE SUJET


12 points

Exercice 1 :
On considère la figure ci-contre qui n'est pas réalisée en vraie grandeur.


Les points S, P, E et B sont alignés ainsi que les points N, P, C et M.
Les droites (MB) et (NS) sont parallèles.
On donne : PM = 12 cm, MB = 6,4 cm, PB = 13,6 cm et PN = 9 cm.

1. Démontrer que le triangle PBM est rectangle.
2. En déduire la mesure de l'angle arrondie au degré près.
3. Calculer la longueur NS.
4. On considère le point E du segment [PB] tel que PE = 3,4 cm et le point C du segment [PM] tel que PC = 3 cm.
Les droites (CE) et (MB) sont-elles parallèles ?

Exercice 2 :
La figure est à réaliser sur une feuille de papier millimétré.

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J). L'unité de longueur est le centimètre.
1. Placer les points : A (—2 ; 1), B (3 ; 2), C (—3 ; —2) et G (7 ; 0).
2.
a.
Placer le point E tel que. En déduire la nature du quadrilatère ABEC.
b. Donner par lecture graphique les coordonnées du point E.
3. Calculer la valeur exacte de la longueur AB.
4. Placer le point F(—1 ; 4) et démontrer que F est le symétrique de C par rapport à A.
5. Démontrer que B est le milieu du segment [FG] et en déduire sans autre calcul la longueur CG.

LE CORRIGÉ


I - LES NOTIONS DU PROGRAMME

Théorème de Pythagore et sa réciproque.
Théorème de Thalès et sa réciproque.
Vecteurs.

 

II - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

Il fallait savoir calculer les coordonnées du milieu d'un segment et bien connaître la définition du symétrique d'un point par rapport à un autre point.

 

III - LES DIFFICULTES RENCONTREES

Il fallait calculer la longueur CG sans autre calcul supplémentaire en utilisant la propriété de la droite des milieux.

 

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Activités géométriques

Exercice 1 :
PM = 12 cm
MB = 6,4 cm
PB = 13,6 cm
PN = 9 cm

1.
PM2 + MB2 = 122 + 6,42
PM2 + MB2 = 144 + 40,96
PM2 + MB2 = 184,96
PB2 = 13,62
PB2 = 184,96
Comme PB2 = PM2 + MB2, alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore
le triangle PBM est rectangle en M.

2.

D'où

3. Comme les points S, P, B et N, P, M sont alignés et que les droites (MB) et (NS) sont parallèles alors d'après la propriété de Thalès on a :

NS = 4,8 cm

4. Pour que les droites (CE) et (MS) soient parallèles, il faut d'après la réciproque de la propriété de Thalès que :

Comme
,

alors les droites (CE) et (MB) sont parallèles.

Exercice 2 :
1.

2.a.  voir graphique
Comme  alors le quadrilatère ABEC est un parallélogramme.
b. Les coordonnées de E lues sur le graphique sont (2 ; — 1)

3.

4. Pour montrer que le point F (—1 ; 4) est le symétrique de C par rapport à A il suffit de montrer que A est le milieu de [CF]
Calculons les coordonnées du milieu de [CF]

Les coordonnées du milieu de [CF] sont (—2 ; 1)
Le point A(—2 ; 1) est bien le milieu de [CF]
Donc F est le symétrique de C par rapport à A.

5. Calculons les coordonnées du milieu de [FG]

Les coordonnées du milieu de [FG] sont (3 ; 2)
Donc le point B (3 ; 2)  est bien le milieu de [FG]
Comme A est le milieu de [FG] et B le milieu de [FG] alors la longueur du segment [AB] qui joint les milieux des côtés FC et FG du triangle CFG est égal à la moitié de la longueur du côté CG
Donc CG = 2AB

Soit

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