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Bac S Blanc Mathématiques 1998 : Fonction logarithme

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Le sujet   1998 - Bac S - Mathématiques - Problème

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Les tracés de courbes seront faits dans un plan rapporté à un repère orthonormal (unité : 2cm).

On rappelle qu'une fonction f est majorée par une fonction g (ce qui signifie aussi que g est minorée par f) sur un intervalle I si et seulement si, pour tout x appartenant à I, .


Partie A

Soit f et g les fonctions définies sur [0 ; [ par f(x) = ln (1 + x) et g(x) = ; on notera C la représentation graphique de f et celle de g.
On se propose de démontrer que f est minorée par g sur [0 ; [.
Soit h la fonction définie sur [0 ; [ par h(x) = f(x) - g(x).


1. Etudier le sens de variation de h sur [0 ; [ ; calculer h(0). (L'étude de la limite de h en n'est pas demandée).

2. En déduire que pour tout réel x positif ou nul, (1) .

3. Construire dans le même repère les courbes C et et montrer qu'elles admettent en O une même tangente D que l'on tracera. (On justifiera rapidement le tracé de ces courbes).


Partie B

k désignant un réel strictement positif, on se propose de déterminer toutes les fonctions linéaires , majorant la fonction :
Soit fk la fonction définie sur [0 ; [ par fk(x) = ln(1 + x) - kx.

1. Etudier le sens de variation de f1 définie sur [0 ; [ par :
f1(x) = ln(1 + x) - x.

2. Etudier la limite de f1 en et donner la valeur de f1 en O.

3. Montrer que pour tout réel x positif ou nul :

(2) .

4. En déduire que si .

5. Le réel k vérifie les conditions : 0 < k < 1.
Montrer que la dérivée de fk s'annule pour et étudier le sens de variation de fk. (L'étude de la limite de fk en n'est pas demandée).

6. En déduire les valeurs de k strictement positives telles que pour tout

Partie C

1. A l'aide d'une intégration par parties, calculer :

(On remarquera éventuellement que : ).

En déduire le calcul de puis de

(Pour le calcul de K on pourra vérifier que : ).

Interpréter géométriquement les valeurs des intégrales J et K en utilisant les courbes C, et la droite D obtenues dans la partie A.

2. Soit u la fonction définie sur [0 ; 1] de la façon suivante :

u(0) = 1 et si

a. Démontrer que la fonction u est continue sur [0 ; 1].
b.On pose

.

En utilisant les inégalités (1) et (2) obtenues dans les parties A et B, montrer que :

En déduire une valeur approchée de L à près.

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