Annales gratuites Bac Général S spé Maths : Arithmétique

Pour tout entier naturel n non nul, on considère les nombres

a_n = 4.10ⁿ - 1  ,  b_n = 2.10ⁿ - 1  et c_n = 2.10ⁿ + 1.


1.

a) Calculer a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂, a₃, b₃ et c₃.

b) Combien les écritures décimales des nombres a_n et c_n ont-elles de chiffres ? Montrer que a_n et c_n sont divisibles par 3.

c) Montrer, en utilisant la liste des nombres premiers inférieurs à 100 donnée ci-dessous, que b₃ est premier.

d) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, b_n . c_n = a_2n.

En déduire la décomposition en produit de facteurs premiers de a₆.

e) Montrer que PGCD (b_n,c_n) = PGCD (c_n,2). En déduire que b_n et c_n sont premiers entre eux.

2. On considère l’équation :

(1) b₃x + c₃y = 1

d’inconnues les entiers relatifs x et y.

a) Justifier le fait que (1) possède au moins une solution.

b) Appliquer l’algorithme d’Euclide aux nombres c₃ et b₃ ; en déduire une solution particulière de (1).

c) Résoudre l’équation (1).

Liste des nombres premiers inférieurs à 100 :

2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97.

I - QUEL INTERET POUR CE SUJET

Reconnaître des nombres premiers entre eux.


II - DEVELOPPEMENT


1.

a)

b)

donc et ont une écriture décimale à (n+1) chiffres.

donc la somme des chiffres de est un multiple de 3
donc est divisible par 3.


donc la somme des chiffres de est égale à 3
donc est divisible par 3.

c)

47² = 2209

2209 > 1999

Aucun nombre premier inférieur ou égal à 47 ne divise 1999, donc b₃ est premier.

d)

donc



et

On utilise l’algorithme d’Euclide. On a :



Donc PGCD (,) = PGCD ( ;2).


2.

a) 1999.x + 2001.y = 1 (1)

On sait que le PGCD (,) = PGCD ( ;2).

2001 et 2 sont premiers entre eux

donc et sont premiers entre eux

donc, d’après le théorème de Bezout, il existe au moins une solution à l’équation .x + .y = 1

b)

2001 = (1999).1 + 2

1999 = 2. (999) + 1
d’où : 2. (999) = - 1

donc : .999 = 999 + - 1

-1000. + 999. = -1

1000. - 999. = 1

donc (1000 , -999) est une solution particulière de l’équation (1)



1 = .x₀+.y₀

1 = .x +.y

0 = (x-x₀) + (y-y₀)

Comme et sont premiers entre eux x-x₀ = k. et y - y₀ = -k,

où




III - COMMENTAIRE MATHEMATIQUE


Comme toujours en arithmétique l’algorithme d’Euclide et le théorème de Bezout étaient indispensables.

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