Annales gratuites Bac STG Compta finance : Club sportif

Un club sportif multisports propose deux formules d'abonnement (et uniquement deux) ; la formule sport unique et la formule tous sports. Chaque adhérent ne souscrit qu'à une seule des deux formules.
Dans le fichier des adhérents, en fin de saison, on constate que 40 % d'entre eux ont choisi la formule sport unique.
Parmi ceux qui ont choisi la formule sport unique, 85 % reçoivent une aide municipale, tandis que seulement 25 % des personnes qui ont choisi la formule tous sports bénéficient de l'aide municipale.
On choisit une fiche au hasard. On admet que chaque fiche a la même probabilité d'être choisie.
On considère les événements suivants :
U : "la fiche choisie est celle d'un adhérent ayant opté pour la formule unique" ;
T : "la fiche choisie est celle d'un adhérent ayant opté pour la formule tous sports" ;
A : "l'adhérent bénéficie de l'aide municipale".

1. Déterminer :
a) P(U), la probabilité de l'événement U.
b) P(T), la probabilité de l'événement T.
c) P_U(A), la probabilité, sachant U, de l'événement A.

2. Calculer la probabilité que la fiche choisie soit celle d'un adhérent ayant opté pour la formule sport unique et bénéficiant de l'aide municipale.

3. Montrer que la probabilité de l'événement A est égale à 0,49.

4. Déterminer P_A(U), la probabilité, sachant A, de l'événement U.

(5 points)

I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET

Calcul de probabilité à partir de pourcentages.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

Il est indispensable à cette étape de bien maîtriser les probabilités conditionnelles et les arbres.

III - LES RESULTATS

1.

a) P(U) = 0,4

b) P(T) = 0,6

c) P_U(A) = 0,85

2.

3. P(A) = 0,49

4.

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1. On peut illustrer l'ensemble des données par un arbre :

a) 40% des adhérents choisissent la formule "sport unique" donc P(U) = 0,4.

b) 60%  des adhérents choisissent la formule "tous sports" donc P(T) = 0,6.

c) 85% de ceux qui choisissent la formule sport unique sont aidés
donc P_U(A) = 0,85

2. L'événement est l'intersection de U et de A.
Il s'agit de déterminer P(U∩A)

Or on sait que

Ou encore que P(U∩A) = P_U(A) × P(U)

Donc P(U∩A) = 0,85 × 0,4
                    = 0,34

3. On a
P(A) = P((A∩U)U(A∩T))
       = P(A∩U) + P(A∩T)

P(A∩T) = P_T(A) × P(T)
           = 0,25 × 0,6
           = 0,15

D'où P(A) = 0,34 + 0,15
              = 0,49

4.

             = 0,69 à 0.01 près.