Annales gratuites Bac STI Génie Electronique : Complexe et géométrie

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct d'unité graphique 1 cm.

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument.

1. Résoudre dans l'ensemble ℂ des nombres complexes l'équation :

2. On considère les points A, B et C d'affixes respectives :

            et       

a) Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes z_A et z_B

b) Ecrire le nombre complexe z_A sous la forme re^iθ où r est un nombre réel strictement positif et θ un nombre réel compris entre -π et π
c) Placer les points A, B, C dans le plan muni du repère .

3.
a) Déterminer la nature du triangle ABC.
b) En déduire que le quadrilatère OACB est un losange.

4. On appelle K le point du plan complexe d'ordonnée négative tel que le triangle OAK soit rectangle et isocèle en O.
On note z_K l'affixe du point K.
a) Construire le point K sur la figure.
b) Par quelle rotation de centre O, le point K est-il l'image du point A ?
c) Ecrire alors z_K sous la forme re^iθ (où r est un nombre réel strictement positif et θ un réel compris entre -π et π puis sous forme algébrique.
(5 points)

I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET

Le sujet porte sur les images des solutions d'une équation complexe du second degré.
Il faut bien faire attention à l'encadrement imposé pour déterminer les arguments.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Equation complexe du second degré
● Module et argument
● Forme algébrique et forme trigonométrique
● Rotation

III - LES RESULTATS

1.

2. a)

b)

3.a) Le triangle ABC est un triangle équilatéral.

b) Le quadrilatère OACB est un losange.

4.

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1. Soit l'équation : .
On a
Δ = 3 × 36 — 4 × 36
Δ = −36
Δ = 36i²
D'où les solutions :

  et 

2.
a)


Or

Donc

On a donc

Soit θ un argument de z_A.
On a alors   et 

D'où  

Et comme
Si θ ' est un argument de z_B
On aura  

b) On a |z_A| = 6

Et

Donc

c) Voir graphique

3.
a)

           = |−6i| = 6
On a donc
AC = AB = BC

Le triangle ABC est un triangle équilatéral.

b) On sait également que
|z_B| = |z_A| = 6
Donc OA = AC = BC = OB = 6

Le quadrilatère OACB est un losange.

4.
a) Voir graphique.

b) OAK est un triangle rectangle isocèle en O.
Donc OA = OK
Et
Le point K est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle .

c) On a