Annales gratuites Bac STI Génie Matériaux : Equation complexe

(5 points)

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal  d'unité graphique 2 cm.
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument .

1. Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation : z² — 2z + 4 = 0

2. On considère les points A, B et C d'affixes respectives , z_B = 2 et

a) Déterminer le module et un argument de z_A, de z_B et de z_C.
b) Placer les points A, B et C dans le repère . On laissera apparents les traits de construction.
c) Montrer que A, B et C sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

3. Soit z_D le nombre complexe :

a) Placer le point D d'affixe z_D sur le graphique précédent.
b) Calculer z_D—z_A et z_C—z_B sous forme algébrique. En déduire que ABCD est un trapèze.
c) Calculer les distances AB et CD. Que peut-on conclure pour le trapèze ABCD ?

I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET

Le sujet va permettre de mettre en évidence la figure géométriquement formée par les points images et solutions d'une équation complexe du second degré.
Dans la question 2. b) les points doivent être placés en utilisant un procédé géométrique et non en utilisant une valeur approchée de

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Forme algébrique d'un ombre complexe
● Forme trigonométrique d'un nombre complexe
● Equation complexe du 2nd degré
● Cercle
● Trapèze
● Savoir passer sans difficultés de résultats obtenus par le calcul à des propriétés géométriques et inversement.

III - LES RESULTATS

1.

2.

a)

Arg ZB = 0 à 2 k près

b)

c) r = 2.

3.
a) Voir graphique

b)

AB = CD = 2

Et donc on peut en conclure que le quadrilatère ABCD est un trapèze isocèle.

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1. Soit l'équation : z² - 2z + 4 = 0
on a ∆ = 4 - 4 x 4
       ∆ = -12
       ∆ = 12i²
Les solutions de l'équation sont :
 et

or    

d'où

2.






donc

Soit  un argument de Z_A, on a
 
 et

Donc

on aura

Arg Z_c = -Arg Z_A

Arg Z_C =

Z_B = 2   Z_B est un nombre réel positif

on a

Arg Z_B = 0 à 2 kprès.

c) on a

donc A, B, C sont sur le cercle de centre O et de rayon r = 2.

3.

a) Voir graphique

b) 

   

    

   et donc

   

   

   

On constate donc que
Z_D-Z_A = 2 (Z_C - Z_B)
On peut donc en déduire que (AD) est parallèle à (BC) et donc que le quadrilatère ABCD est un trapèze.
c)

    

on a donc

AB = CD = 2

Et donc on peut en conclure que le quadrilatère ABCD est un trapèze isocèle.