Annales gratuites Bac STI Génie Electronique : Equation différentielle

On considère l'équation différentielle :
(E) : y " + 25y = 0
où y désigne une fonction de la variable réelle x définie et deux fois dérivable sur l'ensemble  des nombres réels, et y '' sa fonction dérivée seconde.
1. Résoudre l'équation (E).
2. Soit f la fonction définie et dérivable sur , dont on note f ' la fonction dérivée, vérifiant les trois conditions suivantes :
● f est solution de l'équation différentielle (E) 
● la courbe représentative de f dans un repère du plan passe par le point de coordonnées  

● f '(0) = −5
Montrer que, pour tout réel x, .

3. Vérifier que, pour tout réel x, .

4. Calculer la valeur moyenne de f sur l'intervalle .

(4 points)

I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET

Il s'agit d'une résolution d'une équation différentielle avec recherche d'une solution particulière et valeur moyenne.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

Il vous faut impérativement connaître les valeurs et formules trigonométriques.

III - LES RESULTATS

1.

2.  

3.

4.

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1. Soit l'équation différentielle : (E) : y '' + 25y = 0
(E) est de la forme y '' + w²y = 0 avec w = 5
Les solutions de (E) sont les fonctions de la forme

2.
● f est solution de (E)

●

donc

● f '(0) = 5

Or

donc ‒5Asin0 + 5Bcos0 = ‒5
5B= ‒5
B = ‒1

et donc

D'où

3.  est de la forme cos(a+b).

Or cos(a+b) = cosa.cosb — sina.sinb

Et donc

4. La valeur moyenne de f sur  est égale à

Soit

La valeur moyenne est .