Annales gratuites Bac STI Génie Civil : Fonction circulaire

(5 points)
On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0;2π] par.

1.
a) Déterminer la fonction dérivée f' de la fonction f.
b) En utilisant la relation sin(2a) = 2sina cosa, montrer que, pour tout nombre réel x de l'intervalle [0;2π], .

2. Résoudre dans l'intervalle [0;2π], l'équation produit : .

3.
a) En s'appuyant sur la représentation graphique de la fonction dérivée f' donnée en annexe, dresser le tableau de signes de f'(x) sur l'intervalle [0;2π].
b) Déduire des questions 2. et 3.a) le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle [0;2π]. Préciser les ordonnées des points dont l'abscisse x vérifie f'(x) = 0.

4. Tracer la courbe représentative de f sur l'intervalle [0;2π] dans le repère de l'annexe (où f' est déjà représentée).

La courbe préconstruite ci-dessous est la représentation graphique de la fonction dérivée f' sur l'intervalle [0;2π].

I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET

Une interprétation graphique va permettre d'établir un tableau de variation et la représentation graphique d'une fonction circulaire.
Penser à utiliser les résultats de la question 2 pour établir le signe de f ' est les variations de f.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Sinus et cosinus.
● Dérivée des fonctions circulaires.
● Interprétation graphique.
● Bien savoir interpréter le signe d'une fonction à partir de sa représentation graphique.

III - LES RESULTATS

1. a)

b)

2.

3. a)

b)

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1. a) On a       x ∈ [0;2π]

d'où       x ∈ [0;2π]

b) On sait que sin (2x) = 2 sinx cosx
donc f '(x) = −sinx − 2 sinx cosx

2. sinx [1 + 2 cosx] = 0  si et seulement si  sinx = 0 ou 1 + 2 cosx = 0
or sinx = 0 si et seulement si x = 0 ou x = π ou x = 2 π       x ∈ [0;2π]
et 1 + 2 cosx = 0 si et seulement si  si et seulement si  ou        x ∈ [0;2π]

D'où l'ensemble des solutions :

3. a) Dans la question précédente on a déterminé les valeurs de x, x ∈ [0;2π], pour lesquelles on a f '(x) = 0.
La courbe préconstruite ci dessous est la représentation graphique de la fonction dérivée f' sur l'intervalle [0;2π]


Donc d'aprés la représentation graphique de f ' on peut établir que :

b) On peut en déduire le tableau de variations de f :