Annales gratuites Bac STI Génie Civil : Fonction exponentielle

Soit f la fonction définie sur R par . On appelle (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm.

1.
1.a. Déterminer la limite de la fonction f en -.

1.b. Déterminer la limite de la fonction f en +.

1.c. En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe (C). On précisera son équation.

2. Calculer f '(x), ou f' désigne la fonction dérivée de f.

3. Etudier le signe de f '(x) et dresser le tableau de variation de f.

4. Résoudre dans R, l'équation d'inconnue x : f(x) = 0. En déduire en fonction de x réel, le signe de f(x).

5. Tracer la courbe (C) dans le repère indiqué.

1. Montrer que la fonction F définie par est une primitive de f sur R.

2.
2.a. Hachurer l'aire du domaine délimité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation et x = 5.

2.b. Calculer la valeur, en cm², de cette aire, puis en donner une valeur approchée à 10^-2 près.

3.
3.a. Pour tout x de R, on pose g(x) = -f(x) et on appelle la courbe représentative de la fonction g. Tracer la courbe dans le même repère que la courbe (C).

3.b. Soit A() l'aire du domaine compris entre les courbes (C) et et les droites d'équation et x = (où est un réel positif donné). Calculer, en cm² et en fonction de , la valeur de A().

3.c. Calculer la limite de A() lorsque tend vers +.

Etude d'une fonction exponentielle et d'un calcul d'aire.

f est définie sur par :

1. a.

on en déduit que

b.

c.
On en déduit que la droite d'équation y = 0 est asymptote à la courbe au voisinage de +¥ .

2.

3.
est du signe de pour tout réel x.
On a donc :

Il résulte le tableau de variation suivant :

4.

5.
Tableau des valeurs:

1.
Pour montrer que la fonction F définie par est une primitive de f sur il suffit de montrer que F' = f .
On a donc :

Soit F'(x)=f(x)
Donc F est une primitive de f.

2. a.
Voir la figure de la Partie A. 5.

b.

3. a.
g(x) = -f(x)
Voir la courbe .

b.

c.

On a donc :

Un problème d'analyse très classique sans difficulté apparente.